Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей, введём ещё одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Рассмотрим примеры:
Опыт состоит в бросании 2-х монет, рассматриваются события:
А - появление герба на второй монете,
В - появление герба на первой монете
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А не зависимо от события В.
В урне два белых шара и один чёрный. Два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А - появление белого шара у 2-го лица;
В - появление белого шара у 1-го лица.
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В равна 
. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится рав ной 
, из чего заключаем, что события А зависит от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается 
.
Для условия последнего примера
 |
и если мы введём в рассмотрение событие С - появление у 1-го лица чёрного шара
.
Условие независимости события А от события В можно записать в виде
.
а условие зависимости - в виде
.
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятности. Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Докажем теорему умножения для схемы случаев.Пусть в урне имеется n шаров, из них m шаров красных, а k шаров с рисунком, из них l шаров-красных. Найти вероятность того, что мы вынем красный шар с рисунком. Изобразим этот опыт для наглядности на рисунке:
Где n-число всех случаев
m - число случаев,благоприятствующих событиюА(красные шары)
k - число случаев,благоприятствующих событию
 |  | ||
(красных шаров с рисунком)
|  | ||
вычислим то есть условную вероятность события B в предложении, что A имело место.Если известно,что событие A произошло то из ранее возможных случаев остаются возможными только те которые благоприятствовали событию A.Из них l случаев благоприятны событию B.
Следовательно
Теорема доказана.Очевидно что применение теоремы умножения вполне безразлично,какое из событий A и B считать первым а какое вторым и теорему умножения записать и в каком виде
Частный случай
Если A и B события независимые,то условная вероятность
И следовательно
 |
Обобщение для и независимых событий
Или
П- знак произведения.
Прибор состоит из трех узлов.
Надежность узлов представлена на рисунке
 |
Найти надежность всего прибора
