Процессы, происходящие в механике, физике, химии, термодинамике, экономике, очень часто описываются функциями, заданными формулами. Чтобы знать характерис-тики рассматриваемого процесса, следует изучить характеристики функций, описы-вающих процесс, а для наглядности рассмотреть функции в их графическом задании. Но чаще интерес представляет не графическое задание функции, а качественное поведение графика функции без соблюдения масштабных размеров для достаточно точного (прибли-женного с заданной точностью) определения значений функции. Эти качественные свойства функций можно описать, используя методы дифференциального исчисления.
Теорема 16.12. (условие монотонности функции) Пусть функция 
определена на X и внутри имеет конечную производную 
. Для того чтобы 
была монотонно возрастающей (убывающей), достаточно, чтобы 
(
) для всех x внутри X.
Доказательство. Возьмем промежуток 
так, чтобы 
, и применим к функции на этом промежутке формулу Лагранжа:
,
где 
.
Если 
и 
, то 
. Следовательно, функция возрастает.
Если 
и , то 
. Следовательно, функция убывает.
,
Если функция , определенная и непрерывная на множестве X, не является монотонной, то найдутся такие части промежутка X, что наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке.
Определение 16.3. Функция имеет в точке 
максимум (минимум), если существует такая окрестность точки 
, не выходящая из области определения функции, что для всех 
.
Максимум и минимум называют общим термином «экстремум».
Из определения экстремума следует, что вне окрестности точки максимума значения функции могут быть больше этого максимума. Поэтому такой максимум назы-вается локальным (местным). Аналогично определяется локальный минимум. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значе-ния функции в них – локальными экстремумами функции.
Если функция определена на отрезке 
и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, то такой экстремум будем называть локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для a и левой для b полуокрестностью.
Рассмотрим условия существования экстремума функции. Необходимое условие экстремума примем без доказательства.
Теорема 16.13. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: 
.
Отметим, что обратная теорема неверна, т.е. если 
, то это не значит, что – точка экстремума.
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными (крити-ческими или «подозрительными» на экстремум). Точки, в которых функция непре-рывна, но производная не существует или бесконечна, также являются критическими, так как это тоже точки, где может быть экстремум.
Например, для функции 
ее производная 
равна нулю при 
, но не является точкой экстремума. Непрерывная функция 
в точке производной не имеет, но точка – точка минимума.
Теорема 16.14. (первое достаточное условие экстремума) Пусть точка – критическая, т.е. 
или 
не существует. Предположим, что в некоторой окрестности для 
существует конечная производная и она сохраняет свой знак слева и справа от . Тогда:
1) если 
при 
и 
при 
, т.е. при переходе через производная изменяет знак с «+» на «-», то в точке функция имеет максимум;
2) если при и при , т.е. при переходе через производная изменяет знак с «-» на «+», то в точке функция имеет минимум;
3) если при переходе через знак производной не изменяется, то экстре-мума в точке нет.
Доказательство. Действительно, в первом случае на 
возрастает, а на 
убывает, т.е. в точке функция имеет максимум.,
Теорема 16.15. (второе достаточное условие экстремума) Если – крити-ческая точка, т.е. , и функция в точке имеет вторую производную 
, то в случае 
функция имеет в точке максимум, а при 
– минимум.
Доказательство. Если 
существует, то 
существует в точке и в некоторой ее окрестности 
. Тогда
.
Если , то 
и при получаем 
, т.е. возрастает, а при 
, т.е. убывает.
Таким образом, при переходе через производная изменяет знак с отрицательного на положительный и в точке функция имеет минимум.
Пусть , тогда 
. При 
, а при 
следовательно, имеем максимум.,
Надо отметить, что т. 16.15. не применима, если 
или не существует.
Пример 16.21. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания для функции:
.
Решение. Функция определена и дифференцируема на 
. Ее производная равна 
. Необходимое условие экстремума: 
. Имеем 
. Получили две критические точки, которые разбивают всю область определения на три интервала 
. Применим первое достаточное условие экстремума, т.е. на рисунке отметим знаки первой производной и стрелками поведение функции на каждом интервале
Точка 
– точка максимума. 
.
Точка 
– точка минимума. 
.
На интервалах 
и 
, следовательно, функция возрастает, на интервале 
– функция убывает.
II способ.
Вместо исследования перемены знака первой производной можно найти значения второй производной в критических точках: 
. 
, т.е. в точке 
вторая производная отрицательна, то в этой точке функция имеет максимум, а если в точке 
вторая производная положительна, то в этой точке функция имеет минимум.,
