Дифференцирование функций, заданных неявно
Функции, которые рассматривались выше, были представлены в виде 
, т.е. переменная y выражалась через переменную x.
Если функция задана уравнением , разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде (явная функция). Например, 
, 
задает две функции 
.
Во многих задачах приходиться сталкиваться с ситуацией, когда переменную y невозможно выразить через x. Например, 
. В этих случаях функция записывается в виде 
, и говорят, что она задана неявно.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно y.
Чтобы найти производную функции, которая задана уравнением (задана неявно), достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разрешить относительно 
.
Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.
Пример 16.4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем
;
;
Отсюда находим
.,
Чтобы найти производную функции, заданную уравнением , где y – функция независимой переменной x, то можно воспользоваться следующей формулой:
.
Пример 16.4 (2). Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Находим 
и 
.
; 
.
Затем находим
.
,
Пример 16.5. Найти значение производной функции в точке 
, если
.
Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем
;
;
.
Отсюда находим
.
Далее
.,
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пусть 
– некоторая функция. Прологарифмируем обе части равенства, получаем
и вычисляем ее производную
.
Отсюда находим искомую производную:
.
Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемые степенно-показательная функция 
, где 
и 
– заданные дифференцируемые функции от x. Найдем производную этой функции
;
;
,
т.е.
. (16.5.)
Запоминать эту формулу не стоит, гораздо полезней и проще усвоить схему вычисления логарифмической производной.
Пример 16.6. Найти производную функции:
.
Решение. Логарифмируем данную функцию, получаем
.
Дифференцируем обе части последнего равенства по x:
.
Отсюда
.,
Пример 16.7. Найти производную функции:
.
Решение. Можно найти с помощью правил и формул дифференцирования. Од-нако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирова-ние. Логарифмируем данную функцию, получаем
.
Дифференцируем обе части последнего равенства по x:
.
Выражаем , получаем:
.,
16.7. Дифференцирование функций,
Заданных параметрически
Кроме того, что функция может быть задана в явном или неявном виде, есть функции, которые можно задать параметрически.
Если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде уравнений
,
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, то говорят, что «функция задана параметрически».
Например, 
задает линейную функцию 
, которую можно получить, если из первого уравнения выразить t и подставить во второе.
Теорема 16.5. Пусть функция задана параметрически
,
и функции 
дифференцируемы в области определения переменной t, тогда
. (16.6.)
Доказательство. Так как 
задана параметрически, то из первого уравне-ния следует 
, из второго уравнения следует 
– сложная функция с промежуточным аргументом t. Тогда по теореме о производной сложной функции 
и по теореме о производной обратной функции 
. Отсюда следует, что
.,
Пример 16.8. Пусть 
. Найти 
.
Решение. Имеем 
.
Следовательно, 
.
,
В этом можно убедиться, если найти непосредственно зависимость y от x. Действительно, 
. Тогда 
. Отсюда 
, т.е. 
.
Пример 16.9. Пусть 
. Найти в точке 
.
Решение. Используя формулу (16.6.), находим
.
Далее получаем
.,
