Производная 
функции 
есть также функция от x и называется производной первого порядка.
Если функция 
дифференцируема, то ее производная называется производ-ной второго порядка и обозначается: 
или 
. Итак,
.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: 
или 
. Итак,
.
Производная n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной 
порядка:
. (16.7.)
Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, 
или 
– производная пятого порядка.
Пример 16.10. Найти значение производной 4-го порядка для функции 
при 
.
Решение. Находим последовательно
;
;
;
.
Следовательно, 
.,
Пример 16.11. Найти производную n -го порядка для функции 
.
Решение. Находим последовательно
;
;
;
;
…………………….
.
,
Отметим, что в формуле (16.7.) принято 
, т.е. производная нуле-вого порядка есть сама функция.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Как известно, производная первого порядка 
.
Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. 
.
Пусть функция задана неявно в виде уравнения 
.
Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-сительно 
, найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и . Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим 
через x и y.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.
Пример 16.12. Найти производную второго порядка функции, заданной уравне-нием 
в точке 
.
Решение. Находим производную первого порядка:
Þ 
.
Используя равенство , дифференцируем обе его части, считая y функцией по x. Получаем
;
.
Отсюда
.
Следовательно, 
.
,
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
.
Как известно, первая производная 
находится по формуле 
.
Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.
Из определения второй производной и равенства (16.6.) следует, что
,
т.е.
. (16.8.)
Эту формулу можно преобразовать и получить следующую формулу
.
Итак,
. (16.9.)
Аналогично получаем
, 
, и т.д.
Пример 16.13 Найти вторую производную функции
.
Решение. Находим производные 
и 
:
;
.
Далее
.
Используя формулу (16.8.), получаем
.,
Дифференциал функции
Пусть дана функция , определенная на множестве X, и в точке 
имеет отличную от нуля производную, т.е. 
. Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать 
, где 
при 
, или 
.
Таким образом, приращение функции 
представляет собой сумму двух сла-гаемых 
и 
, являющиеся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с 
, так как 
, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высо-кого порядка, чем , так как 
.
Слагаемой называют главной частью приращения функции .
Определение 16.2. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается 
(или 
):
. (16.10.)
Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции 
. Так как 
, то согласно формуле (16.10.), имеем 
, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: 
. Поэтому формулу (16.10.) можно записать так:
, (16.11.)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (16.11.) следует равенство 
. Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и 
.
Пример 16.14. Найти дифференциал функции
а) в общем виде;
б) в точке 
;
в) при и 
.
Решение. Находим производную первого порядка:
.
а) Используя формулу (16.11.), получаем
.
б) Дифференциал функции в точке равен
.
в) При и получаем:
.
,
Выясним геометрический смысл дифференциала функции.
Проведем к графику функции в точке 
касательную 
и рассмотрим ординату этой касательной для точки 
. На рисунке 
, 
. Из прямоугольного треугольника 
имеем:
, т.е. 
.
Но, согласно геометрическому смыслу производной, 
. Поэтому 
.
Сравнивая полученный результат с формулой (16.10.), получаем 
.
Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.
Инвариантность формы записи дифференциала
Пусть для , тогда
.
Рассмотрим сложную функцию 
, где 
, причем 
и 
дифференцируемы соответственно в точках x и . Тогда 
, но 
следовательно, 
. А так как 
, то
.
Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.
Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя 
(x – незави-симая переменная), а 
(
– функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна: 
задается произвольно, 
же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя; нужно вычислить по формуле дифференциала 
. Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.
