Структурные средние. Общая характеристика, анализ и интерпретация.

Для того чтобы определить среднее в некоторых случаях нет необходимости, или возможности прибегать к расчёту степенных средних в этих случаях появляется возможность или необходимость расчёта структурных средних. Они используются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. Их значение определяется структурой распределения, местом распределения. Отсюда их названия.

МодаM_О — значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду — варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

где X_мо — нижняя граница модального интервала;

h — модальный интервал;

f_мо, f_мо-1, f_мо+1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

МедианаМ_е - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

где Х_ме - нижняя граница медианного интервала;

h - медианный интервал; —— - половина от общего числа наблюдений,

S_ме-1 — сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_ме - число наблюдений в медианном интервале.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей - квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

Использование в анализе вариационных рядов распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Структурные средние

Величина средней определяется всеми значениями признака, встречающимися в данном ряду распределения. Различают такие структурные средние, как:

(1) мода(2) медиана(3) квартиль(4) дециль(5) перцентиль

Мода

Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения.

В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды рассчитывается по следующей формуле:

– нижняя граница модального интервала,– величина модального интервала,– частота (вес) интервала, предшествующего модальному,– частота модального интервала,– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана

Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда.

Прежде всего определяется порядковый номер медианы по формуле
и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном ряду соответствует значение медианы, а в интервальном – медианный интервал.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по следующей формуле:

– нижняя граница медианного интервала,– величина медианного интервала,– сумма частот (весов) ряда,– сумма накопленных частот (весов) в интервале, предшествующем медианному,– частота медианного интервала.

Квартиль Первый квартиль вычисляется по формуле:

– нижняя граница квартильного интервала,– величина квартильного интервала,– номер квартильного признака,

– сумма накопленных частот (весов) в интервалах, предшествующих квартильному,– частота квартильного интервала.

Аналогично рассчитывается третий квартиль. Второй же квартиль равен медиане.

Дециль

Рассчитывается по аналогии с расчетом квартиля. Можно найти девять децилей.

Средняя должна исчисляться не просто тогда, когда есть вариация признака, а тогда, когда мы располагаем качественно однородным вариационным рядом. Среднюю как обобщающую характеристику нельзя применять к таким совокупностям, отдельные части которых подчиняются различным законам распределения (или) развития в отношении величины распределяемого признака.