Абсолютные показатели размера вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение,

Средние величины и показатели вариации широко применяются для характеристики статистических совокупностей по варьирующим признакам.

Средняя величина является обобщенной характеристикой для однородной совокупности. Она определяет общие условия в отношении изучаемого признака. Но для всесторонней характеристики вариационного ряда необходимо установить степень колеблемости отдельных значений признака.

Показатели, характеризующие колеблемость признаков, получили общее название показатели вариации. Для определения абсолютной меры колеблемости признаков или величины вариации применяются абсолютные средние размеры вариации:

размах вариации;

среднее линейное отклонение;

дисперсия признака;

среднее квадратическое отклонение.

1) Размах вариации – это абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = x_max-x_min.

Измеряет только крайние отклонения вариант в ряду.

2) Среднее линейное отклонение определяется из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины без учета знака этих отклонений:

(простое); (взвешенное)

Измеряет отклонение каждой варианты.

3) Дисперсия (средний квадрат отклонений) определяется как средняя из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины, возведенной в квадрат:

(простая) (взвешенное)

4) Среднее квадратическое отклонение:

(простое) (взвешенное)

Выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем оно точнее средняя арифметическая отражает собой всю изучаемую совокупность.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Для нормального закона распределения . Если это отношение больше, то это свидетельствует о наличии в совокупностях резких выделяющихся отклонений не однородных с основной массой элементов, нарушающих развитие основной тенденции или закономерности совокупности.

Свойства дисперсии:

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии.

Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз, а среднее квадратическое отклонение в k раз.

Дисперсия любой величины А, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической ( ), всегда будет больше дисперсии средней арифметической. Свойство минимальности.

На этих свойствах основываются способы, которые позволяют упростить вычисление дисперсии.

способ отсчета от условного нуля:

, где k – ширина интервала

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой.