(Признак Вейерштрасса) Если числовой ряд с неотрицательными членами 
сходится и для членов функционального ряда 
при всех 
и всех 
справедливы оценки
,
то ряд сходится абсолютно и равномерно в области 
Говорят в этом случае, что числовой ряд «мажорирует» исходный функциональный ряд, а сам числовой ряд называют мажорантным.
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)
Можно рассматривать 
и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
| Теорема (Вейерштрасс): |
 ,  ,  — сходится. Тогда равномерно сходится на  .
|
| Доказательство: |
Применим критерий Коши:
  
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно  ,
 . Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
|
Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
(13)
или
Для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рассмотрением рядов вида (13), так как ряд по степеням 
легко свести к виду (13) заменой переменных 
, т.е. переносом начала координат в точку 
Для выяснения характера области сходимости степенного ряда сформулируем следующую теорему:
Теорема 6.1. (Абеля)Пусть степенной ряд (13) сходится в точке 
Тогда он сходится абсолютно в любой точке х, для которой 
и равномерно в любой области 
.
Если степенной ряд (13) расходится в точке 
то он расходится и во всех точках 
таких, что 
.
Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.
Рассмотрим степенной ряд
. (14)
Вычислим предел
.(15)
Если существует предел (15), то ряд (14) сходится, если 
, и расходится, если 
. Следовательно, ряд (14) сходится абсолютно, если
,
и расходится, если
.
Определение. Число 
, такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 
ряд (13) сходится, а для всех х удовлетворяющих условию 
ряд расходится, называется радиусом сходимости ряда.
Формула для радиуса сходимости, получаемая с помощью признака Даламбера, имеет вид
(16)
Область сходимости ряда - так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма)
сходится
Пример 6.1. Найти область сходимости ряда Область сходимости ряда
при 
.
По признаку Даламбера:
что означает, что ряд сходится на всей оси Х.
