Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную
1. Точками х0 = а, х1..., хn = b (х0 < x1 <...< хn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пусть этим точкам соответствуют точки М0 = А, M1,...,Mn =В на кривой АВ. Проведем хорды М0M1, M1M2,..., Мn-1Мn, длины которых обозначим соответственно через ΔL1, AL2,..., ΔLn. Получим ломаную M0M1M2... Mn-ιMn, длина которой равна Ln=ΔL1 + ΔL2+...+ ΔLn = 
2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δxi и Δуi:
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δуi=ƒ'(сi)•Δхi, где ci є (xi-1;xi). Поэтому
а длина всей ломаной M0M1... Мn равна
3.Длина l кривой АВ, по определению, равна
.
Заметим, что при ΔLi→0 также и Δxi →0 ΔLi = 
и, следовательно, |Δxi|<ΔLi).
Функция 
непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δxi→ 0:
Таким образом, 
или в сокращенной записи l = 
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.
1. Через произвольную точку х є [a;b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Δх, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до В:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,
у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
