Свойства определителей.
Транспонирование не меняет определителя. (Транспонирование – взаимная замена строк и столбцов.)
= 
Возьмём любой член определителя (-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.
Из вида любого члена определителя видно, что при транспонировании они не меняются.
det AT = det A
1) Если в определителе поменять местами 2 строки, то знак определителя поменяется на противоположный.
Доказательство: Берём произвольный член определителя. Взаимное расположение -> поменялись первые 2 индекса -> чётность изменилась -> изменился знак.
2) Если в определителе 2 строки (столбца) одинаковы, то det = 0.
Если 2 одинаковые строки поменять местами, то ничего не меняется, но по св-ву 2 знак меняется. Это происходит, если △=0. (△=-△, 2△=0, △=0)
3) Если в определителе есть 2 пропорциональные строки, то он тоже = 0.
det 
= k det 
после того, как k вынесен, 2 строки равны. По св-ву 3 △ =0.
4) Если в некоторой строке определителя все элементы в виде 1 и той же комбинации чисел, а именно k-я строка (αck1 + βdk1 + αck2+ βdk2) = α|ck1+ck2…+ckn|+β|dk1+dk2…+dkn|.
5) Если в любой строке определителя прибавить любую другую строку с противоположным коэффициентом, то определитель не изменится.
6) Если строка в определителе состоит из нулей, то определитель = 0.
7) Если какая-либо строка определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель = 0.
1 = (a11,a1n)
2 = (a21,a2n)
n = (an1,ann)
| 1
| |
| Det A= | 2
|
| n
|
Пусть k есть линейная комбинация остальных
k = α1 1 + α2 2 +…+ αk-1 k-1 + αk+1 k+1 +…+ αn n
В соответствии со свойством 7 определитель равен сумме этих определителей, равных нулю. Количество определителей = (n-1)и в каждой из которых имеются одинаковые строки.
Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором элемента определителя aik называется определитель n-1 порядка, получающийся вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aik.
Алгебраическим дополнением Аik элемента определителя aik называется Aik = (-1)i+kMik.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.
det A = ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn = 
1) Доказательство: Пусть определитель имеет вид:
= 
a11
Определитель 1 порядка, полученный вычёркиванием 1 строки и 1 столбца.
Тем самым, для 1 случая теорема доказана.
2) Пусть определитель имеет вид:
= (-1)j
an1 an2 an3 an4 … anm
Передвинем последовательными шагами столбец этого элемента akj (столбец с номером j) влево до занятия им места 1 столбца. При этом определитель при каждом шаге меняет знак и итоге приобретает множитель (-1)j и приобретает вид:
anj an1 an2 an3 … anm
Далее перемещаем строку с номером k вверх последовательно, пока она не займёт место 1ой строки, т.е. определитель будет иметь вид:
anj an1 an2 an3 … anm
При этом определитель приобретает ещё один множитель (-1)k. В итоге
anj an1 an2 an3 … anm
Мы пришли к 1 случаю, для которого справедливость была доказана.
det A = (-1)j+kakjMkj+0*Ak1+…+0*Ak2 *…*0*Akn
3) Общий случай.
| a11 | a12 | … | a1m |
| … | … | … | … |
| ak1 | ak2 | … | akm |
| … | … | … | … |
| an1 | an2 | … | anm |
=(-1)k+1ak1Mk1+(-1)k+2ak2Mk2+…+(-1)k+naknMkn
Это правило вычисления определителя называется разложением по I строке (столбцу).
2. Равенство нулю суммы произведений элементов строки (столбца, алгебраическое дополнение другой строки (столбца)).
Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраическое дополнение другой строки равна нулю, т.е.:
(*) аk1Аj1+ аk2Аj2+…+ аknАjn=0
Доказательство:
Рассмотрим определитель:
| … | … | … | … | ||
| j-я строка | aj1 | aj2 | ajn | = аj1Аj1+ аj2Аj2+…+ аjnАjn (**) | |
| k-я строка | ak1 | ak2 | akn |
В выражении (*) коэффициент Аjm получились вычёркиванием j-ой строки -> аjmА не зависят от тех чисел, которые могут стоять в j-ой строке.
В определителе (**) на место j-ой строки поставим k-ую строчку. Тогда этот определитель равен det А = аk1Аj1+ аk2Аj2+…+ аknАjn
Но это равенство равно нулю, так как определитель имеет две одинаковые строки. Ч.т.д.
3. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.
Пусть имеется прямоугольная матрица nхm.
Минором K-ого порядка матрицы А (k<m,k<n) называется определитель, получающийся из элементов, стоящих на пересечении каких-либо строк и каких-либо столбцов.
Рангом матрицы называется целое, положительное число r=Rang А, такое, что в данной матрице присутствует хотя бы один минор порядка r≠0, а все миноры следующего порядка (r+1 и далее) =0.
Метод окаймления миноров.
Если в матрице найден отличный от нуля минор k-ого порядка, то все миноры k+1 порядка считать не обязательно, так как имеет место теорема:
Если все окаймляющие данный минор k-ого порядка миноры k+1 порядка равны нулю, то и все вообще миноры k+1 –ого порядка = 0.
Найдём окаймляющие миноры 3-его порядка для M2: (положим, М2≠0)
| а11 | а12 | а13 | а14 |
| а21 | а22 | а23 | а24 |
| а31 | а32 | а33 | а34 |
| а41 | а42 | а43 | а44 |
| а11 | а12 | а13 | |
| M3(1)= | а21 | а22 | а23 |
| а31 | а32 | а33 |
| а11 | а13 | а14 | |
| M3(2)= | а21 | а23 | а24 |
| а31 | а33 | а34 |
| а11 | а12 | а13 | |
| M3(3)= | а21 | а22 | а23 |
| а41 | а42 | а43 |
| а11 | а13 | а14 | |
| M3(4)= | а21 | а23 | а24 |
| а41 | а43 | а44 |
4. Теорема о базисном миноре. Понятие линейно независимых строк (столбцов) определителя. Необходимое и достаточное условие равенства 0 определителя.
При нахождении ранга матрицы минор порядка r (ранг матрицы) называется базисным.
Все строки матрицы являются линейными комбинациями строк базисного минора. (к столбцам относится то же самое).
Доказательство:
| a11 | a12 | … | a1r | a1j | a1r+1 | … | a1n |
| a21 | a22 | … | a2r | a2j | a2r+1 | … | a2n |
| a31 | a32 | … | a3r | a3j | a3r+1 | … | a3n |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| ar1 | ar2 | … | arr | arj | arr+1 | … | arn |
| ak1 | ak2 | … | akr | akj | akr+1 | … | akn |
| am1 | am2 | … | amr | аmj | amr+1 | … | amn |
Берём любую строку с номером произвольным k. Ставим её под базисный минор. Вправо от минора ставим произвольный столбец с номером j. Рассмотрим минор Mr+1, окаймляющий базисный снизу. K-ой строкой, справа k-ым столбцом.
Разложим его:
Mr+1=0=c1a1j+ c2a2j+ crarj+ Arakj |:Ar (Ar≠0)
Akj=-c1*a1j/Ar- c2*a2j/Ar+…- cr*arj/Ar
Так как akj – координаты вектора строки с номером k, это вернодля любого столбца (коэффициенты ci/Ar одинаковы для любого j) -> сам вектор
строка ak=-c1a1/Ar- c2a1/Ar -crar/Ar
Следствие из теоремы о базисном миноре:
Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы <n (порядок квадратной матрицы)
Доказательство:
| а11 | а12 | … | а1n |
| а21 | а22 | … | а2n |
| аm1 | аm2 | … | аmn |
det A = 0
Rang A < n
1) Необходимость: дано: det A = 0, доказать: Rang A<n
Так как det A = 0, то по карйней мере одна из строк есть линейная комбинация строк. Это значит, что число линейно независимых строк < n. Число линейно независимых строк и есть Rang A -> r<n
2) Достаточность: дано: Rang A<n, доказать: det A = 0
Так как Rang A<n, а ранг – число линейно независимых строк, то в А число линейно независимых строк <n. Значит, по крайней мере одна из строк есть линейная комбинация остальных, а это значит, что det A = 0 (по св-вам определителя).
Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк (столбцов), так как если методом Гаусса с помощью элементарных преобразований привести матрицу к виду трапеции, то оставшиеся строки являются линейно независимыми.
| а11 | а12 | … | а1n |
| а21 | а22 | … | а2n |
| аm1 | аm2 | … | аmn |
Рассмотрим строки как векторы (координаты aij (j=1,2,3…n))
1=(а11, а12, а13,…,а1n);
2=(а21, а22, а23,…,а2n);
m=(аm1, аm2, аm3,…,аmn);
Строки называются линейно независимыми, если они линейно независимы в смысле векторов, т.е. единственная линейная комбинация векторов, равная 0, это та, все коэффициенты нули.
Линейная комбинация – с1 
1 + с2 2 + … + сm m равна нулю тогда и только тогда, когда все числовые коэффициенты с1 = с2 = сn = 0. Тогда векторы линейно независимы.
Если вектор – линейная комбинация остальных, то система линейно зависима: ak= с1 1 + с2 2 + … + сk-1 k-1 + сk+1 k+1 + сn n
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.
х1, х2, …, хn – неизвестные
aik – постоянные коэффициенты
Матрица системы:
| а11 | а12 | … | а1n |
| а21 | а22 | … | а2n |
| аm1 | аm2 | … | аmn |
1) Кмножаем каждую строку системы на алгебраическое дополнение 1-ого элемента строки.
2) Сложим уравнения.
*x1 + 
*x2 + … + 
*xn = 
3) Поступим так же со вторым столбцом. (каждый элемент строки умножаем на А второго элемента строки). Слева получим △х2, справа - △2
Если определитель системы △≠0, то система имеет, и притом единственное, решение, даваемое формулами крамера:
△ – определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.
△i – определитель, получаемый из определителя системы △ заменой столбца коэффициентов при неизвестном определяемом столбце свободных членов.
Если определитель системы △ = 0:
Если хотя бы один △i ≠ 0, то система несовместна (ᴓ) (решений нет)
Если все △i = 0, то решение существует и их бесконечно много. Система несовместна и называется неопределённой.
В случае неопределённой системы не все числа х1, х2, …, хn можно брать произвольными, так как даже если одно уравнение осталось в системе, а все остальные – следствие из него, то это уравнение связывает между собой переменные, а это и значит, что все их брать произвольными нельзя.
6. Необходимое и достаточное условие совместимости системы. Теорема Кронекера – Капелле.
Система совместна тогда и только тогда, когда Rang А, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен Rang Yрасширенной матрицы, т.е. матрицы, которая получена из матрицы A присоединением к ней столбца свободных членов.
| а11 | а12 | … | а1n | b1 |
| а21 | а22 | … | а2n | b2 |
| аm1 | аm2 | … | аmn | b3 |
Rang A = Rang 
Вектор столбец
(*) a1x1 + a2x2 +…+ anxn =b
1) Необходимость: Дано: совместная система, доказать: Rang A = Rang
Доказательство: Так как система совместна, то есть, имеет решение, то существует такой набор чисел x1=c1, x2=c2, xn=cn, при подставлении которых в систему (*) получится верное равенство. Следовательно, b есть линейная комбинация остальных столбцов.
1x1 + 2x2 +…+ nxn = 
-> линейная комбинация столбцов . Если в матрице один столбец является линейной комбинацией остальных, то при добавлении к матрице А этого столбца, её Rang не меняется, т.е. Rang A = Rang
2) Достаточность:
Дано: Rang A = Rang
Доказать: система (*) совместна.
Доказательство: Матрицы A и отличаются только и т.к. их ранги равны, то дабавление к А не меняет её ранга. Значит, этот столбец – линейная комбинация остальных столбцов. Т.е. существует такие числа c1, c2, c3,…,cn, что 1c1+ 2c2+…+ ncn= . Но это и есть система (*)
-> (*) удовлетворилась при x1=c1, x2=c2, xn=cn ч.т.д.
Т.е. с1,с2,сn – решения системы.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических систем уравнений.
Метод Гаусса. Пусть дана система 
линейных уравнений с 
неизвестными 
. Выпишем расширенную матрицу системы/ 
Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице 
добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером 
. Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть 
. Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число 
, к третьей строке прибавим первую, умноженную на число 
, и т.д. В результате получим матрицу
Если в матрице 
встретилась строка с номером 
, в которой все элементы 
равны нулю, а 
, то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид
Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел 
Матрицу 
можно записать в виде
где 
По отношению к матрице 
выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу
где 
, 
. Эту матрицу снова можно записать в виде
и к матрице 
снова применим описанный выше шаг алгоритма.
Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее. Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида
Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице 
составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть 
. Заметим, что 
. Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части. Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами 
, включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин 
(в частности, просто произвольной величиной 
). Эта запись и будет общим решением системы. Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при 
, взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при 
-- второе решение и т.д. Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д. Замечание 15.4 У читателя может возникнуть вопрос: "Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют." Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи.
.
