Теорема о среднем для определённого интеграла.

Если -неотрицательная функция на промежутке и ограничена на нём, то Проинтегрируем:

; разделим все на

.

Следствие: если - непрерывна на отрезке , то она принимает все значения от до , в том числе и .

 

19. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

Критерии интегрируемости.

Необходимое условие: функция f должна быть ограниченной на отрезке [a,b].

 

Критерий Коши:

Для существования неопределенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы

 

Достаточный признак:

Для интегрирования f достаточно.

.

Доказательство:

В отрезке

Пусть , тогда

 

f интегрируемая функция, ч.т.д.

Следствие №1

Если функция f ограничена на [a, b] и имеем на нем конечное число точек разрыва, то функция fинтегрируема на [a, b].

Доказательство:

Пусть f имеет на [a, b] k-точек разрыва

Рассмотрим у каждой точки разрыва с радиусом и вычтем из отрезка

+

выберем , такое, что ;

; {берётся по отрезкам, которые не пересекаются с окрестностью точек разрыва}+ {все остальные}

< ч.т.д.

20. Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.

Следствие №2

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

f - непрерывна на [a, b] она равномерно непрерывна

ч.т.д.

21. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.

Следствие №3

Если f(x) ограничена и монотонна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

;

в силу монотонности функции все разности под знаком модуля в получившейся сумме имеют один знак

{т.к. и }= ч.т.д.

 

 

22. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла с переменным верхним пределом.

________

23. Формула Ньютона-Лейбница.

_________

 

Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.

Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

 

Формула (41.1) получена путем применения метода сумм. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).

Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х  [а; b] и будем считать, что S = S(x).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где а и β определяются из равенств х(а) = а и х(β) =b.

 

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180).

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).

2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь