Основные показатели вариации. Свойства дисперсии

Основные показатели вариации

А. Размах вариации (R) – разность между максимальными и минимальными значениями совокупности.

(5.1)

Б. Среднее линейное отклонение (d) – это средняя арифметическая абсолютная величина отклонений вариантов от средней арифметической величины.

Для несгруппированных данных:

(5.2)

Для сгруппированных данных:

(5.3)

В нашем примере получим следующие средние линейные отклонения:

В. Дисперсия (σ²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от средней арифметической величины.

– для несгруппированных данных (5.4)

– для сгруппированных данных (5.5)

 

Свойства дисперсии

1. Если все варианты увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k раз.

2. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же величину не меняет дисперсию.

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.

4. Дисперсия относительно средней арифметической равна дисперсии относительно произвольной постоянной без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной.

(5.6)

(5.7)

5. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариантов без квадрата средней арифметической.

Если в 4-м свойстве дисперсии с=0, то имеем формулу:

(5.8)

(5.9)

Дисперсию можно рассчитать тремя способами.

Пример: определить дисперсию затрат на 1 руб. реализованных путевок по 30 пансионатам:

Затраты (х) на 1 руб., коп.	Число пансионатов (f)
менее 75			(70–82)2×5=720		702×5=24500
75–85
85–95
95 и выше
Итого	30	–	1680	1800	203400

 

Решить можно тремя способами, используя свойства дисперсии.

Способ 1.

.

 

Способ 2.

– способ моментов

За число «с» принимается варианта, расположенная в середине ряда распределения, или варианта, имеющая наибольшую частоту (в нашем случае с=80).

.

Способ 3..

 

 

Г. Среднее квадратическое отклонение ( s ) – это арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

(5.10)

Отклонение затрат на 1 руб. реализованных путевок от среднего значения составляет 7,48 коп.

Хотелось бы отметить, что отношение среднего квадратического отклонения к среднему линейному приблизительно равно 1,2:

(5.11)

Так, при s =7,48 прогнозируемое значение d=6,23, а реальное (рассчитанное по исходным данным) d=6,00.

Д. Коэффициент вариации ( n ) – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:

(5.12)

Он показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебания различных признаков в одной совокупности.

Коэффициент вариации характеризует также степень однородности совокупности и качества средних величин, т.е. если коэффициент вариации от 0 до 20 %, то совокупность – однородная, если коэффициент вариации – от 20 до 50% – совокупность средней однородности, т.е. необходимо осторожно использовать среднюю, если свыше 50% – совокупность неоднородна, и средней нельзя пользоваться для прогнозирования перспективных показателей признака.

Целесообразно расчет каждой средней величины дополнять расчетом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины. В нашем примере коэффициент вариации составит:

Это означает, что совокупность предприятий по уровню затрат на 1 руб. проданных путевок является однородной. Средней величиной пользоваться можно.

Пример: В течение одного квартала производство продукции в среднем за декаду на заводе № 1 составило 25 млн руб. при n=5 млн руб., на заводе № 2 – соответственно 100 млн руб. и 10 млн руб. Определить, какой завод работал ритмичнее, т.е. с меньшей колеблемостью выпуска продукции по дням?

Для решения задачи необходимо найти коэффициенты вариации выпуска продукции по двум заводам в отдельности и сравнить их.

Второе предприятие работало ритмичнее, так как