Решение уравнений и систем уравнений

 

Цель. Научиться решать квадратные уравнения, уравнения с одной производной, а также системы нелинейных уравнений, используя возможности программы MathCAD.

 

ХОД РАБОТЫ

1. Решение квадратного уравнения.

Программа MathCAD позволяет находить корни многочлена второй степени .

Введем коэффициенты а: = 1, b:= –2, с:= –8.

И определим функцию

Переменной присваиваем значение

– транспонированная матрица.

Переменной присвоим значение функции

.

Получаем корни: .

2. Решение уравнения с одной неизвестной.

Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х.
f (x) = 0, например, sin(x) = 0.

Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному.

- root (f (х), х);

- root (f (х), х, а, b);

где f (х) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

Рис. 2. Решение уравнения

с одной неизвестной в среде MathCAD

 

Обратите внимание, что хотя уравнение имеет бесконечное количество корней, MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, х ₀, лежащий наиболее близко к х = 0,5. Если задать другое начальное значение, то решением будет другой корень уравнения. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который называется методом секущих.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [ а, b ], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нужно. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента):

.

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [ а, b ] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно какой именно;

- значения f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Иногда алгоритм поиска корня натыкается на локальный минимум функции, при этом появляется сообщение «отсутствие сходимости», в таком случае следует попробовать другое начальное решение.

Для поиска комплексных корней следует задавать комплексное начальное приближение: x: = 1i или 1j.

3. Решение систем линейного уравнения.

Системы линейных уравнений решаются матричным способом (см. лабораторную работу № 2).

Решите следующую систему:

Вектор искомых решений:

.

4. Решение систем нелинейных уравнений.

Используя блок решения уравнений, MathCAD находит решение системы n нелинейных уравнений с n неизвестными.

Зададим начальные приближения для всех неизвестных:

х: = 1 у: = 1 z: = 0.

Вводим уравнения в блок решения уравнений:

Рис. 3. Фрагмент решения в MathCAD

 

Найденное решение:

.

5. Выполните индивидуальное задание.

6. Показать результат преподавателю.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание для всех вариантов.

1. Решить систему линейных уравнений матричным способом.

x ₁ + 5 x ₂ + x ₃ = V + 12

3 x ₁ – x ₂ + x ₃= V – 1

Vx ₁ + 3 x ₂ + (V +4) x ₃ = V (V +2) – 6

 

Здесь V – номер компьютера.

 

2. Решить уравнение с одной неизвестной.

Таблица 1

1.		Начальное приближение 0
2.		Начальное приближение 1
3.		Начальное приближение 0
4.		Начальное приближение 0
5.		Начальное приближение 0
6.		Начальное приближение 1
7.		Начальное приближение 1
8.		Начальное приближение 0
9.		Начальное приближение 0
10.		Начальное приближение 1
11.		Начальное приближение 0
12.		Начальное приближение 0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.