Выборочное среднее
где 
– варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда;
– частоты вариант или интервалов;
– частости вариант или интервалов.
Средняя отклонений вариантов от средней равна нулю:
Медианой (Md) вариационного ряда называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.
Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов.
Для интервального вариационного ряда:
Модой (Mo) вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.
Для интервального вариационного ряда:
Абсолютные показатели вариации
Размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:
Среднее линейное отклонение (d) – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней:
Выборочная дисперсия (
) – среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
где – варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда.
Для практических вычислений более удобной является формула:
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):
Относительные показатели вариации
Коэффициент осцилляции:
Относительное линейное отклонение:
Коэффициент вариации:
Решение типовых задач
Теоремы сложения и умножения вероятностей
1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:
а) шары будут одинакового цвета (шары возвращают в урну);
б) шары будут разных цветов (шары не возвращают в урну);
в) хотя бы один шар будет черным (шары не возвращают в урну).
Решение
а) Событие A – шары одинакового цвета.
Рассмотрим события:
A 1 = бб – первый шар белый и второй шар белый.
Аналогично:
A 2 = чч – первый шар черный и второй шар черный.
Событие A произойдет, если достанут 2 белых или 2 черных шара:
A = A 1 + A 2.
– вероятность достать второй раз белый шар не изменилась, так как шар вернули в урну. Аналогично:
По теореме сложения вероятностей для несовместных событий A 1 и A 2:
б) Событие B – шары разных цветов.
Рассмотрим события:
B 1 = бч; B 2 = чб.
Ясно, что B = B 1 + B 2;
– первый шар в урну не вернули, поэтому вероятность 
вычислена при условии, что первым достали белый шар.
в) Событие C – хотя бы один шар черный.
Противоположное событие:
– оба шара белых: 
.
первый шар не вернули в урну, поэтому вероятность 
вычислили при условии, что первым достали белый шар.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
.
2) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что:
а) третьим по порядку будет вынут черный шар;
б) из первых трех шаров хотя бы один шар будет черный.
Решение
а) Событие A – третьим по порядку будет черный шар.
Рассмотрим события:
A 1 = ббч – первый шар белый, второй шар белый, третий шар черный.
Аналогично:
A 2 = бчч; A 3 = чбч; A 4 = ччч.
Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A 1, A 2, A 3, A 4:
A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4.
Так как из урны последовательно достают все шары, то шары в урну не возвращают и при вычислении вероятности события A 1 = ббч рассчитываем условные вероятности того, что второй шар белый (при условии, что первый шар белый) и что третий шар черный (при условии, что первый шар белый и второй шар белый):
Аналогично:
По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:
б) Пусть событие B – из первых трех шаров хотя бы один шар будет черным.
Противоположное событие:
– все три шара белые: 
.
Ответ: а) 
; б) 
.
3) В урне 5 белых, 10 черных и 5 красных шаров. Три из них вынимают наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. Шары в урну не возвращают.
Решение
Событие A – по крайней мере два шара одноцветные.
Противоположное событие:
– все шара разного цвета.
Рассмотрим события:
A 1 = бчк – первый шар белый, второй шар черный, третий шар красный.
Аналогично:
A 2 = бкч; A 3 = чбк; A 4 = чкб; A 5 = кбч; A 6 = кчб.
Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6:
A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6.
Так как шары в урну не возвращают, то при вычислении вероятности события A 1 = бчк рассчитываем условные вероятности того, что второй шар черный (при условии, что первый шар белый) и что третий шар красный (при условии, что первый шар белый и второй шар черный):
Аналогично:
По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:
Ответ: 
