Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

ЛЕКЦИИ

Определение вероятности события

Классическое определение вероятности события. При классическом определении вероятность события определяется равенством

P (A)= m / n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена случайная точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P = Длина l /Длина L

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А ₁+ А ₂+...+ А_n) = P (A ₁) + Р (А ₂) +…+ Р (А_n).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событии. Например, для трех совместных событий

Р (A + В +С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (АВ) – Р (АС) – Р (ВС) + Р (ABC).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) ∙Р_A (В).

В частности, для независимых событий

P (АВ) = Р (А) ∙Р (В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

 

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H ₁, H ₂, …, H _n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

где .

 

Формула Байеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H ₁, H ₂, …, H_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса

где

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), равна

где q = 1 – p.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, находят соответственно по формулам:

P_n (0) + P_n (1) +…+ P_n (m – 1);

P_n (m + 1) + P_n (m + 2) +…+ P_n (n);

P_n (m) + P_n (m + 1) +…+ P_n (n);

P_n (0) + P_n (1) +…+ P_n (m).

Формула Пуассона

Если вероятность p наступления события A – постоянна и мала, а число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то имеет место приближенное равенство:

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р <1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Здесь

, ,

Таблица значений функции Гаусса для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей с учетом того, что функция четная, следовательно, .

Интегральная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее m ₁ раз и не более m ₂ раз, приближенно равна

P (m ₁; m ₂) = Φ(x ¢¢) – Φ(x ¢)

Здесь – функция Лапласа,

Таблица значений функции Лапласа для положительных значений х (0 ≤ х ≤ 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Φ(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(– x)= –Ф(x).

На практике, приближенные равенства из локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа используют при выполнении условия: npq > 20.