Дифференциальная функция распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f (х) = F ¢(х).

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» или «дифференциальная функция».

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b),определяется равенством:

.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:

.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f (x)≥0.

Свойство 2. . В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то .

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенством

,

где f (x) – плотность распределения случайной величины X. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
(а, b), то

.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

,

или равносильным равенством

.

В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (a, b), то

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

.

 

Нормальный закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины X, плотность которого имеет вид

,

где а – математическое ожидание,

– среднее квадратическое отклонение X.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (α; β), равна:

,

где – функция Лапласа.

 

Генеральная совокупность и выборка

Генеральная совокупность – вся подлежащая изучению совокупность наблюдений, производимых в неизменных условиях.

В математической статистике генеральная совокупность часто понимается как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могут быть произведены при выполнении некоторых условий.

Выборка (выборочная совокупность) – совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N – объем генеральной совокупности.

n – объем выборки.

Вариационный ряд

Наблюдаемые значения случайной величины х ₁, х ₂, …, х_k называются вариантами.

Частотой варианты х _i называется число n_i (i =1,…, k), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью (относительной частотой, долей) варианты х_i (i =1,…, k) называется отношение ее частоты n_i к объему выборки n.

Частоты и частости называют весами.

Накопленной частотой называется количество вариант, значения которых меньше данного х:

Накопленной частостью называется отношение накопленной частоты к объему выборки:

Вариационным рядом (статистическим рядом) – называется последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.

Вариационный ряд может быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).

Дискретный вариационный ряд имеет вид:

			…
			…

Когда число вариант велико или признак является непрерывным (случайная величина может принимать любые значения в некотором интервале), составляют интервальный вариационный ряд.

Для построения интервального вариационного ряда проводят группировку вариант – их разбивают на отдельные интервалы:

Число интервалов иногда определяют с помощью формулы Стерджеса:

Затем подсчитывается число вариант, попавших в каждый интервал – частоты n_i (или частости n_i / n). Если варианта находится на границе интервала, то ее присоединяют к правому интервалу.

Интервальный вариационный ряд имеет вид:

Варианты			…
Частоты			…

Эмпирической (статистической) функцией распределения называется функция, значение которой в точке х равно относительной частоте того, что варианта примет значение, меньшее х (накопительной частости для х):

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (х ₁; n ₁), (х ₂; n ₂), …, (х_k; n_k). Аналогично строится полигон частостей, который является статистическим аналогом многоугольника распределений.

Для непрерывного вариационного ряда полигон можно построить, если в качестве значений х ₁, х ₂, …, х_k взять середины интервалов.

Интервальный вариационный ряд графически обычно изображают с помощью гистограммы.

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длины h = x_{i +1} – x_i, i = 0,…, k -1, а высоты равны частотам (или частостям) интервалов n_i (w_i).

Кумулята (кумулятивная кривая) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломанную, соединяющую точки или , . Для интервального ряда кумулята начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов.