Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


„исловые характеристики случайных величин.




ћатематическое ожидание. ћатематическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей конечное число значений хi с веро€тност€ми рi, называетс€ сумма:

(6 а)

ћатематическим ожиданием непрерывной случайной величины называетс€ интеграл от произведени€ ее значений х на плотность распределени€ веро€тностей f (x):

(6 б)

Ќесобственный интеграл (6 б) предполагаетс€ абсолютно сход€щимс€ (в противном случае говор€т, что математическое ожидание ћ () не существует). ћатематическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины . ≈го размерность совпадает с размерностью случайной величины.

—войства математического ожидани€:

(7)

 

ƒисперси€. ƒисперсией случайной величины называетс€ число:

(8)

ƒисперси€ €вл€етс€ характеристикой рассе€ни€ значений случайной величины относительно ее среднего значени€ ћ (). –азмерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. »сход€ из определений дисперсии (8) и математического ожидани€ (5) дл€ дискретной случайной величины и (6) дл€ непрерывной случайной величины получим аналогичные выражени€ дл€ дисперсии:

(9)

«десь m = ћ ().

—войства дисперсии:

(10)


—реднее квадратичное отклонение:

(11)

“ак как размерность среднего квадратичного отклонени€ та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперси€, используетс€ как мера рассе€ни€.

ћоменты распределени€. ѕон€ти€ математического ожидани€ и дисперсии €вл€ютс€ частными случа€ми более общего пон€ти€ дл€ числовых характеристик случайных величин Ц моментов распределени€. ћоменты распределени€ случайной величины ввод€тс€ как математические ожидани€ некоторых простейших функций от случайной величины. “ак, моментом пор€дка k относительно точки х 0 называетс€ математическое ожидание ћ ( Ц х 0) k. ћоменты относительно начала координат х = 0 называютс€ начальными моментами и обозначаютс€:

(12)

Ќачальный момент первого пор€дка есть центр распределени€ рассматриваемой случайной величины:

(13)

ћоменты относительно центра распределени€ х = m называютс€ центральными моментами и обозначаютс€:

(14)

»з (7) следует, что центральный момент первого пор€дка всегда равен нулю:

(15)

÷ентральные моменты не завис€т от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на посто€нное значение ее центр распределени€ сдвигаетс€ на то же значение , а отклонение от центра не мен€етс€: Ц m = ( Ц ) Ц (m Ц ).
“еперь очевидно, что дисперси€ Ц это центральный момент второго пор€дка:

(16)

јсимметри€. ÷ентральный момент третьего пор€дка:

(17)

служит дл€ оценки асимметрии распределени€. ≈сли распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего пор€дка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных пор€дков). ѕоэтому, если центральный момент третьего пор€дка отличен от нул€, то распределение не может быть симметричным. ¬еличину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии:

(18)

«нак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).


–ис. 2. ¬иды асимметрии распределений.

Ёксцесс. ÷ентральный момент четвертого пор€дка:

(19)

служит дл€ оценки так называемого эксцесса, определ€ющего степень крутости (островершинности) кривой распределени€ вблизи центра распределени€ по отношению к кривой нормального распределени€. “ак как дл€ нормального распределени€ , то в качестве эксцесса принимаетс€ величина:

(20)

Ќа рис. 3 приведены примеры кривых распределени€ с различными значени€ми эксцесса. ƒл€ нормального распределени€ = 0.  ривые, более островершинные, чем нормальна€, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные Ц отрицательный.


–ис. 3.  ривые распределени€ с различной степенью крутости (эксцессом).

 

ћоменты более высоких пор€дков в инженерных приложени€х математической статистики обычно не примен€ютс€.

ћода дискретной случайной величины Ц это ее наиболее веро€тное значение. ћодой непрерывной случайной величиныназываетс€ ее значение, при котором плотность веро€тности максимальна (рис. 2). ≈сли крива€ распределени€ имеет один максимум, то распределение называетс€ унимодальным. ≈сли крива€ распределени€ имеет более одного максимума, то распределение называетс€ полимодальным. »ногда встречаютс€ распределени€, кривые которых имеют не максимум, а минимум. “акие распределени€ называютс€ антимодальными. ¬ общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. ¬ частном случае, дл€ модального, т.е. имеющего моду, симметричного распределени€ и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределени€.

ћедиана случайной величины Ц это ее значение ће, дл€ которого имеет место равенство: т.е. равноверо€тно, что случайна€ величина окажетс€ меньше или больше ће. √еометрически медиана Ц это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределени€ делитс€ пополам (рис. 2). ¬ случае симметричного модального распределени€ медиана, мода и математическое ожидание совпадают.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 343 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќе будет большим злом, если студент впадет в заблуждение; если же ошибаютс€ великие умы, мир дорого оплачивает их ошибки. © Ќикола “есла
==> читать все изречени€...

757 - | 593 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.