Условные вероятности событий. Зависимые и независимые события.

Определение случайного события. Классификация событий. Пространство элементарных событий.

Случайное событие – может произойти или не произойти. Именно такие события изучает теория вероятности. Обозначается буквами латинского алфавита: А, В, С и т.п.

Классификация событий

Все наблюдаемые при определенных условиях события можно разделить на следующие виды:

1) Достоверное – обязательно произойдет при определенных условиях. Например, выпадение какого-то очка при бросании кубика;

2) Невозможное – никогда не произойдет при определенных условиях. Например, выпадение 8 очков при однократном бросании одного кубика.

3) Случайное – может произойти или не произойти. Именно такие события изучает теория вероятности. Обозначается буквами латинского алфавита: А, В, С и т.п.

4) Несовместные – когда два события А и В одновременно не могут произойти. Например, А – выпадение «орла», В – выпадение «решки». Аналогия с не пересекающимися множествами:

5) Совместные – когда два события А и В протекают одновременно. Например, при бросании 2-х кубиков выпадение четных очков. Аналогия с пересекающимися множествами.

6) Независимые – наступление события А не влияет на наступление события В. Например, стрельба 2-х человек по мишени: промах одного не влияет (не зависит) на результат другого.

7) Зависимые – наступление или не наступление события А влияет на возможность наступления события В. Например, А – вытаскивание из колоды бубновой карты, В – вытаскивание затем бубнового туза.

8) Элементарное (простое) – событие, содержащее только один исход, не разложимое на другие события. Например,

испытание – стрельба по мишени

случайное событие – выбить не менее 7 очков – содержит 4 исхода, значит это не элементарное событие

случайное событие – выбить 10 очков – элементарное.

Совокупность всех исходов испытания называют пространством элементарных событий (исходов).

9) Противоположное событие – все остальные случаи, кроме рассматриваемого события.

Пространство элементарных событий — множество {\displaystyle \Omega } всех различных исходов случайного эксперимента.

Элемент этого множества {\displaystyle \omega \in \Omega } называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. Любое пространство элементарных событий, не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называется непрерывным (континуум).

Пространство элементарных событий {\displaystyle \Omega } вместе с алгеброй событий {\displaystyle {\mathcal {F}}}и вероятностью {\displaystyle \mathbf {P} } образует тройку {\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},\mathbf {P})}, которая называется вероятностным пространством.

 

2. Операции над событиями: сумма, произведение и разность событий.

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие есть выпадение двойки, а событие – выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

 

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда:

 

§ каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

 

§ всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

 

§ событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

 

Другими словами, задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , которое можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события – это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. То есть, по аналогии с теорией множеств, строится алгебра событий. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

 

(отношение включения множеств: множество является подмножеством множества ) –событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. (отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. () – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (не исключающее логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

 

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. .

 

(множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих ) – разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие .

 

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в . Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Событие , противоположное событию , происходит тогда и только тогда, когда событие не происходит. Другими словами, наступление события означает просто то, что событие не наступило.

Симметрическая разность двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в или , но не входящих в и в одновременно.

Смысл события состоит в том, что наступает одно и только одно из событий или .
.

Обозначается симметрическая разность: или .

3. Определения вероятности: классическое, статистическое, геометрическое, аксиоматическое.

Классическое - рас ссм сложное событие А и предпол., что А наступает всякий раз, когда наступают события w₁w_2…w_n из полной группы событий. Событие w1... наз благоприятствующими для события А, если его появление влечет за собой наступление события А.

Вер-ть – это колич. мера случ. события.

Классич. опр. вводится для тех ситуаций, когда число всех исходов конечно и все исходы равновозм., т.е. наступление ни одного из исходов не меет преимущ-ва перед другими. Тогда вер-ть опр по формуле P=k/n.

Вер-ть случ. события лежит в пределах [0,1]

Недостаток классического определения не всегда устанавливается равновозможность исхода.

Статистическое - пусть некоторый опыт повторен n раз Если событие А наступило m раз то m частота события А(герб выпал 98 раз). Отношение m/n=v(A) называется относительной частостью. При неограниченном увеличении числа n относительные частоты устойчиво колеблются около числа p, которое называется статистической вер-тью события А Р= lim(n=∞)m/n (2)

Сатистическое определение вероятности закл. в том, что за вер-ть наступления события А прин. пост вел., вокруг которой колеблются значения частостей при неогр. возрастании числа n. Статистическая вероятность устанавливается только после опыта.

Геометричское - когда число вар-тов бесконечно, то прим. классич. опр. вер-ти затруднительно, поэтому прим. след подход.

Множество всех исходов рассм как Эл-ты некот плоской фигуры А. Тогда число благоприятствующих эл-тов – это некое подмножество множества А (В). В таком случае p=Sb/Sa.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р (А) такое, что: Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р (А) называется вероятностью события А.

 

Условные вероятности событий. Зависимые и независимые события.

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события

A и B независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события B и обозначается P { B | A }.

Условие независимости события B от события A записывают в виде

P { B | A }= P { B }, а условие его зависимости — в виде P { B | A }≠ P { B }

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а A ¯ извлечение нового. Тогда P { A }=25, P { A ¯¯¯¯}=1−25=35. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

P { B | A }=14, P { B | A ¯¯¯¯}=24=12.

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.