Проверка статистических гипотез. Пусть на некотором этапе исследования выборки из возможных значений случайной величины возникает предположение (статистическая гипотеза) о распределении

Пусть на некотором этапе исследования выборки из возможных значений случайной величины возникает предположение (статистическая гипотеза) о распределении генеральной совокупности. Истинность основной (нулевой) гипотезы проверятся в сравнении с альтернативными гипотезами , , , …. При этом, поскольку проверка осуществляется на основе выборки, а не всей генеральной совокупности, то все же существует, может и малая, вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута (ошибка 1-го рода), или наоборот принимается гипотеза, которая справедлива только для отдельной выборки и не справедлива для всей генеральной совокупности (ошибка 2-го рода). Поэтому гипотеза принимается или отвергается с некоторой вероятностью (доверительной вероятностью), чаще всего 0,9, 0,95, 0,99 и т.д.

Рассмотрим критерии согласия, которые применяются для проверки гипотез о том, что распределение изучаемой случайной величины подчиняется некоторому известному распределению, то есть, случайная величина x задана функцией распределения .

Критерий Колмогорова

Пусть имеется выборка значений случайной величины x, по которой строится эмпирическая функция распределения . Предположим, что случайная величина x задается функцией распределения .

Теорема. Если функция непрерывна, то

где , то есть, величина определяет наибольшую меру отклонения эмпирической функции распределения от теоретической .

Замечание. Из теоремы следует, что критерий Колмогорова применим для оценки только непрерывных и полностью определенных, включая параметры, распределений и при достаточно большом объеме статистических данных.

Пусть задана некоторая выборка, по которой на плоскости строится ломаная линия. В этой же системе координат строим график теоретической функции распределения.

Определяем и полагаем . Находим , где - вероятность того, что за счет случайных причин максимальный разброс и будет меньше, чем фактически наблюдаемый. Если - мала (<0,2), то не соответствует опытным данным, если - велика (>0,2), то совместима с данными выборки.

Критерий c²

Пусть задан интервальный статистический ряд распределения случайной величины x. По нему найдем теоретические вероятности , соответствующие столбцу r, . Предположим, что случайная величина x задается функцией распределения . За меру отклонения между распределением выборки и теоретическим распределением принимается сумма квадратов разности между теоретическими и опытными вероятностями:

,

где - некоторые коэффициенты.

Если положить , то закон распределения d не зависит от вида , числа опытов n и асимптотически сходится к распределению c²,

или .

Распределение c ² имеет число степеней свободы, где k – число интервалов, на которые разбито множество наблюдений, r – число параметров теоретического распределения вероятностей.

По выборке вычисляется величина , которая сравнивается с . Если , то считается, что гипотеза не согласуется с наблюдаемыми значениями случайной величины, если , то гипотеза не противоречит опытным данным.

Замечание. Если критерий Колмогорова требует для своего применения жестких условий, то критерий c² (Пирсона) либерален. Во-первых, он применяется при проверке гипотез как дискретных, так и непрерывных случайных величин, и, во-вторых, значения параметров могут быть вычислены из этих же статистических данных. Принято считать, что для применения критерия достаточно, чтобы .