В случае произвольного вероятностного пространства случайной величиной 
называется такая функция X = X (
) от элементарных исходов 
, для которой при любом численном значении 
неравенство { X ≤ } является событием. Вероятность этого события 
{ X ≤ } называется функцией распределения. Таким образом, функция распределения 
случайной величины X определяется формулой
= { X ≤ x }. (3)
Функция распределения обладает следующими свойствами:
a) 0 ≤ ≤ l, – 
< x < ;
b) FX (– ) = 0, FX (+ ) = 1;
c) - неубывающая функция на всей оси;
d) непрерывна справа, т. е. 
= 
.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный интервал действительной оси (
, 
] определяется формулой
= 
– 
. (4)
Различают случайные величины дискретного типа и случайные величины непрерывного типа. Определение дискретных случайных величин и их законов распределения дано выше. Зная закон распределения таких величин, можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (3), функцию накопленных вероятностей:
(5)
где суммирование распространяется на все значения индекса 
, для которых 
< . Это ступенчатая функция, которая принимает постоянное значение на любом интервале, не содержащем значений случайной величины . Ее точки разрыва – это ее возможные значения , а скачки в точках разрыва – соответствующие вероятности 
.
Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует такая неотрицательная функция 
, называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех 
R
= { X ≤ } = 
. (6)
Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:
a) ≥ 0, – < x < ;
b) 
=l (условие нормировки);
c) 
= в точках непрерывности функции .
Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси, причем
{ Х = } = 
= 0 при всех x R.
Это значит, что вероятность «попасть в точку» для непрерывной случайной величины, равна нулю.
Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность ее попадания на интервал (, ] может быть вычислена как через функцию распределения по формуле (4), так и через плотность распределения вероятностей:
{ < Х ≤ } = 
. (7)
Пример. Функция 
является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины. Найти: значение нормирующей постоянной 
, функцию распределения, вероятность
{0< Х ≤ 1}.
◄ Постоянную находим из условия нормировки плотности распределения =l: 
= 
= 
= 
=1 
. Итак, 
.
Функцию распределения найдем исходя из определяющей ее формулы (6): = = 
= 
= 
.
По формуле (7) находим искомую вероятность {0< Х ≤ 1}:
{0< Х ≤ 1} = 
= 
= 
= 
=
= 
. Этот результат можно получить и с помощью функции распределения по формуле(4): 
= 
– 
= 
–
– 
= 
. ►
