Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕоследовательность независимых испытаний. —хема Ѕернулли




≈сли событи€, св€занные с различными испытани€ми, €вл€ютс€ причинно-независимыми, то вышеописанный составной эксперимент называетс€ последовательностью независимых испытаний. ¬ математической модели такой последовательности соответствующие событи€ должны быть независимы и в теоретико-веро€тностном смысле.

ѕоследовательность независимых испытаний иногда называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой.

ѕусть в каждом независимом испытании может наступить один из исходов, причем их веро€тности не завис€т то номера испытани€ (однородна€ схема). ¬еро€тность того, что в испытани€х полиномиальной схемы исход Ђ1ї наступил раз, исход Ђ2ї Ц раз, Е, исход Ђrї Ц раз, будет тогда определ€тьс€ равенством (полиномиальной формулой)

, (15)

где Ц веро€тность -го исхода в отдельном испытании ; , , Е, Ц целые неотрицательные числа, удовлетвор€ющие равенству + + Е+ = .

 

ѕример. Ќайти веро€тность того, что среди 20 случайно выбранных цифр имеетс€ ровно 10 четных цифр, две Ђтройкиї и три Ђсемеркиї.

◄ ƒл€ вычислени€ искомой веро€тности данный опыт представим как последовательность 20 независимых испытаний, в каждом из которых возможно по€вление одного из четырех исходов: 1 Ц четна€ цифра, 2 Ц тройка, 3 Ц семерка, 4 Ц все остальное. ¬еро€тности этих исходов равны соответственно , , (). ѕо формуле (15) получим

.►

 

Ќа практике часто приходитс€ рассматривать последовательности с двум€ исходами (): прибор за рассматриваемый период времени работал нормально или отказал; изделие оказалось годным или дефектным; на лотерейный билет получен выигрыш или нет и т. д.

„астный случай последовательности независимых испытаний, в котором каждое испытание может закончитьс€ одним из двух исходов, называют схемой Ѕернулли. ќбычно один из этих исходов условно называют Ђуспехомї (исход ), а другой Ц Ђнеудачейї (исход ), а их веро€тности обозначают () и соответственно. ƒл€ схемы Ѕернулли часто представл€ет интерес событие ={в испытани€х наступило ровно успехов}. ¬еро€тность этого событи€ определ€етс€ формулой (формулой Ѕернулли)

, (16)

 

котора€ получаетс€ из формулы (15), если положить , , . ¬ частности, веро€тность того, что событие (Ђуспехї) произойдет во всех испытани€х, , а веро€тность того, что он не произойдет ни разу, .

 

ѕример. —истема, состо€ща€ из 10 блоков, сохран€ет работоспособность, если за рассматриваемый период времени выйдет из стро€ не более двух блоков, Ќайти веро€тность безотказной работы системы в предположении, что отказы блоков €вл€ютс€ независимыми событи€ми и веро€тность отказа каждого блока равна 0,1.

◄ ¬ качестве модели используем схему Ѕернулли с 10 испытани€ми.  аждое испытание заключаетс€ в работе одного из блоков за рассматриваемый период. Ќазовем Ђуспехомї выход блока из стро€. Ќас интересует событие ={система работает безотказно}. “огда , где ={из стро€ вышло блоков}. »спользу€ формулу (16), получим

.►

 

¬еро€тность , определ€ема€ формулой (16), есть функци€ целочисленного аргумента . ѕоведение этой функции следующее: она в начале при возрастании возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Ќаиболее веро€тное число успехов (наиверо€тнейшее число) (т. е. число, дл€ которого дл€ всех =0, 1, 2, Е, ) находитс€ из двойного неравенства .

 

ѕример. ¬ схеме Ѕернулли веро€тность исхода (Ђуспехаї) равна 3/5. Ќайти число наступлений исхода , имеющего наибольшую веро€тность, если число испытаний равно а) 19, б) 20.

◄ ѕри =19 имеем , а . “аким образом, максимальна€ веро€тность достигаетс€ при двух значени€х , равных 11 и 12.

ѕри =20 находим , а . ѕоскольку не €вл€етс€ целым числом, то будем иметь единственное максимальное значение веро€тности при =12, которое больше , но меньше . ►





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 405 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќасто€ща€ ответственность бывает только личной. © ‘азиль »скандер
==> читать все изречени€...

629 - | 538 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.