Если события, связанные с различными испытаниями, являются причинно-независимыми, то вышеописанный составной эксперимент называется последовательностью независимых испытаний. В математической модели такой последовательности соответствующие события должны быть независимы и в теоретико-вероятностном смысле.
Последовательность независимых испытаний иногда называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой.
Пусть в каждом независимом испытании может наступить один из 
исходов, причем их вероятности не зависят то номера испытания (однородная схема). Вероятность 
того, что в 
испытаниях полиномиальной схемы исход «1» наступил 
раз, исход «2» – 
раз, …, исход «r» – 
раз, будет тогда определяться равенством (полиномиальной формулой)
, (15)
где 
– вероятность 
-го исхода в отдельном испытании 
; , , …, 
– целые неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству + + …+ = .
Пример. Найти вероятность того, что среди 20 случайно выбранных цифр имеется ровно 10 четных цифр, две «тройки» и три «семерки».
◄ Для вычисления искомой вероятности данный опыт представим как последовательность 20 независимых испытаний, в каждом из которых возможно появление одного из четырех исходов: 1 – четная цифра, 2 – тройка, 3 – семерка, 4 – все остальное. Вероятности этих исходов равны соответственно 
, 
, 
(
). По формуле (15) получим
.►
На практике часто приходится рассматривать последовательности с двумя исходами (
): прибор за рассматриваемый период времени работал нормально или отказал; изделие оказалось годным или дефектным; на лотерейный билет получен выигрыш или нет и т. д.
Частный случай последовательности независимых испытаний, в котором каждое испытание может закончиться одним из двух исходов, называют схемой Бернулли. Обычно один из этих исходов условно называют «успехом» (исход 
), а другой – «неудачей» (исход 
), а их вероятности обозначают 
(
) и 
соответственно. Для схемы Бернулли часто представляет интерес событие 
={в испытаниях наступило ровно 
успехов}. Вероятность этого события определяется формулой (формулой Бернулли)
, (16)
которая получается из формулы (15), если положить , 
, 
. В частности, вероятность того, что событие («успех») произойдет во всех испытаниях, 
, а вероятность того, что он не произойдет ни разу, 
.
Пример. Система, состоящая из 10 блоков, сохраняет работоспособность, если за рассматриваемый период времени выйдет из строя не более двух блоков, Найти вероятность безотказной работы системы в предположении, что отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 0,1.
◄ В качестве модели используем схему Бернулли с 10 испытаниями. Каждое испытание заключается в работе одного из блоков за рассматриваемый период. Назовем «успехом» выход блока из строя. Нас интересует событие ={система работает безотказно}. Тогда 
, где ={из строя вышло блоков}. Используя формулу (16), получим 
.►
Вероятность 
, определяемая формулой (16), есть функция целочисленного аргумента . Поведение этой функции следующее: она в начале при возрастании возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Наиболее вероятное число успехов (наивероятнейшее число) 
(т. е. число, для которого 
для всех =0, 1, 2, …, ) находится из двойного неравенства 
.
Пример. В схеме Бернулли вероятность исхода («успеха») равна 3/5. Найти число наступлений исхода , имеющего наибольшую вероятность, если число испытаний равно а) 19, б) 20.
◄ При =19 имеем 
, а 
. Таким образом, максимальная вероятность достигается при двух значениях , равных 11 и 12.
При =20 находим 
, а 
. Поскольку 
не является целым числом, то будем иметь единственное максимальное значение вероятности при =12, которое больше , но меньше 
. ►
