Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬еро€тность. ƒискретное и непрерывное веро€тностные пространства




»з повседневного опыта известно, что одни случайные событи€ наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. ќднако эти характеристики событий слишком неопределенны. Ѕолее объективной экспериментальной характеристикой случайного событи€ (обозначим его, например, через ) €вл€етс€ относительна€ статистическа€ частота , равна€ отношению числа опытов , в которых событие наступило, к общему числу опытов , т. е. . Ёкспериментально установлено, что дл€ многих событий относительна€ частота при увеличении становитс€ почти посто€нной. Ёто свойство называют статистической устойчивостью относительных частот. “аким образом, с каждым событием можно св€зать некоторое число , с которым сближаетс€ частота, и считать это число веро€тностью событи€ .

–ассмотренные выше и р€д других эмпирических фактов, св€занных с поведением относительных частот наступлени€ тех или иных событий в повторных испытани€х, обобщение этих фактов и абстрагирование свойств относительных частот привели к аксиоматическому определению пон€ти€ веро€тности как меры возможности наступлени€ того или иного наблюдаемого в опыте событи€.

ѕусть Ц алгебра событий дл€ данного опыта. ¬еро€тностью называетс€ числова€ функци€, определенна€ дл€ всех и удовлетвор€юща€ трем услови€м (аксиомам веро€тностей):

1) (аксиома неотрицательности);

2) (аксиома нормированности);

3) ≈сли и несовместны (т. е. ), то (аксиома аддитивности).

Ќетрудно убедитьс€, что относительные частоты удовлетвор€ют услови€м 1) Ц 3). ƒействительно,

, .

≈сли реальные событи€ и несовместны, то они наступили при разных опытах и, следовательно, . ќтсюда

,

что соответствует 3).

ƒл€ решени€ задач, св€занных с бесконечными последовательност€ми событий, требуетс€ дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой:

4) ≈сли в последовательности наблюдаемых событий событи€ попарно несовместны (т. е. при ) и , то (расширенна€ аксиома аддитивности).

»з аксиом 1) Ц 3) следует, что ; в частности .  роме того, если дл€ некоторого опыта , то . ¬ажно отметить, что из равенств или не следует, что событие €вл€етс€ достоверным или соответственно невозможным.

“ройку , где Ц алгебра подмножеств множества элементарных исходов , Ц числова€ функци€, удовлетвор€юща€ услови€м 1) Ц 3), называют веро€тностным пространством. ѕостроение веро€тностного пространства €вл€етс€ основным этапом математической формализации того или иного случайного опыта. Ќаиболее трудной ее частью €вл€етс€ задание веро€тностного распределени€ на поле событий дл€ данного опыта, которое в общем случае определ€етс€ следующим образом.

ѕусть совокупность €вл€етс€ разбиением множества . “огда в силу аксиом 2) и 4) . Ёто значит, что единична€ веро€тность достоверного событи€ распредел€етс€ по множеству несовместных событий, образующих полную группу. —оответствие между событи€ми некоторого пол€ и их веро€тност€ми и называют распределением веро€тностей.

ќстава€сь в рамках аксиоматической теории, задачу о задании веро€тностного распределени€ на поле событий дл€ данного опыта нельз€ решить однозначно. ¬опрос о том, какое значение веро€тности приписать тем или иным событи€м в реальных опытах, решаетс€ методами математической статистики.

«нание веро€тности наступлени€ интересующего нас событи€ позвол€ет предсказать с определенной точностью относительную частоту осуществлени€ данного событи€ при проведении достаточно большого числа реальных испытаний, т. е. веро€тность выполн€ет прогностическую функцию. «адачи, которые решаютс€ в теории веро€тностей, заключаютс€ в том, чтобы по веро€тност€м некоторых простых событий, известным из опыта, находить веро€тности интересующих нас сложных событий. ¬ других задачах веро€тностное пространство строитс€ на основе проведени€ аналогии между описываемым опытом и какой-либо моделью случайного опыта с известным распределением веро€тностей. Ќиже рассматриваютс€ несколько важных частных моделей случайных €влений.

 онечное веро€тностное пространство. ‘ормула классической веро€тности. ѕусть Ц конечное множество элементарных исходов, Ц набор чисел, удовлетвор€ющих услови€м

.

¬еро€тностью событи€ назовем число , определенное формулой

,

где событие . ≈сли , то по определению полагаем, что . „исла €вл€ютс€ веро€тност€ми элементарных исходов (элементарными веро€тност€ми). “аким образом, веро€тность событи€ равна сумме тех элементарных веро€тностей , у которых вход€т в . Ќетрудно убедитьс€, что определенна€ таким образом веро€тность удовлетвор€ет всем аксиомам веро€тностей.

ќпределенное выше конечное веро€тностное пространство называют также конечной схемой. ¬ конечной схеме веро€тность однозначно определ€етс€ элементарными веро€тност€ми. Ёта схема во многих случа€х служит хорошей математической моделью случайных событий.

–ассмотрим частный случай конечной схемы, в котором элементарные веро€тности одинаковы, т. е. множество представл€ет собой конечное множество равноверо€тных исходов: . “огда победем иметь

, (1)

где Ц число элементов множества (число всех благопри€тствующих событию исходов), Ц число элементов множества (число всех элементарных исходов опыта).

ќпределение (1) называют классическим определением веро€тности, а саму формулу (1) Ц формулой классической веро€тности.

 лассическое определение веро€тности €вл€етс€ хорошей моделью тех случайных €влений, дл€ которых элементарные исходы опыта обладают определенной симметрией по отношению к услови€м опыта, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более веро€тным, чем другие. ќбычно это предположение оправдано в задачах из области азартных игр, лотерей и т. д. Ёто объ€сн€етс€ тем, что при изготовлении игральных костей, карт, рулеток и организации лотерей забот€тс€ о соблюдении равновозможности различных исходов. “акие же требовани€ предъ€вл€ютс€ к организации выборочного контрол€ и выборочных статистических исследований.

 

ѕример. »з колоды в 36 карт наудачу вынимаетс€ одна карта.  акова веро€тность вынуть карту пиковой масти?

◄ «десь всего исходов . —обытие ={вынута карта пиковой масти}. „исло равновозможных исходов, благопри€тствующих наступлению событи€ , . —ледовательно, . ►

 

ѕример. Ѕросаютс€ одновременно две симметричные монеты.  акова веро€тность выпадени€ герба на обеих монетах?

◄ ћножество состоит из равновозможных элементарных исходов: . —обытию ={выпало два герба} благопри€тствует исходов. ѕо формуле классической веро€тности получаем . ►

 

Ќепрерывное веро€тностное пространство. √еометрические веро€тности. ‘ормула классической веро€тности следующим образом обобщаетс€ на случай непрерывных множеств элементарных исходов .

ѕусть Ц ограниченна€ замкнута€ область на евклидовой плоскости, а услови€ опыта таковы, что веро€тность попадани€ в произвольную подобласть области пропорциональна площади этой подобласти и не зависит от ее местоположени€ в . ѕри этих услови€х дл€ веро€тности наступлени€ любого наблюдаемого в данном опыте событи€ справедлива формула геометрической веро€тности:

, (2)

где Ц площадь области , Ц площадь подобласти .

‘ормула (2) естественным образом обобщаетс€ на случай пространств произвольной размерности:

,

где Ц мера множества (длина, площадь, объем и т. д. в зависимости от размерности того пространства, в котором рассматриваютс€ данные множества).

 

ѕример. Ќа обслуживающее устройство в промежуток времени должны поступить две за€вки. ≈сли разность между моментами поступлени€ за€вок меньше , то втора€ за€вка тер€етс€. Ќайти веро€тность потери за€вки.

◄ ќбозначим через и моменты поступлени€ 1-й и 2-й за€вок соответственно. “огда множество можно записать в виде: . »скомое событие ={за€вка будет потер€на} запишетс€ в виде: . ≈сли воспользоватьс€ геометрически определением, то множества и изобраз€тс€ област€ми на плоскости, представленными на рис. 2. ѕлощади этих фигур , . ѕо формуле (2) находим . ►

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 543 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒва самых важных дн€ в твоей жизни: день, когда ты по€вилс€ на свет, и день, когда пон€л, зачем. © ћарк “вен
==> читать все изречени€...

1139 - | 1058 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.016 с.