В соответствии с учебным планом по дисциплине «М
атематика» каждый студент должен выполнить две контрольные работы (№1 и №2) в сроки, установленные учебным графиком, по приведенным в данном учебно-методическом пособии вариантам.
Номер варианта любой контрольной работы определяется по последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в индивидуальном графике студента. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока.
Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться в институт за консультацией (например, по электронной почте).
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия, Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также данную брошюру.
После проверки контрольная работа студента получает оценку «Зачтено» или «Не зачтено».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.
1.Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие
(не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.
2 На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, направление подготовки, курс, номер личного дела (студенческого билета), вариант контрольной (расчетно-аналитической) работы, а также фамилию преподавателя, к которому направляется данная работа на проверку.
3. Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать) полностью ее условие.
4. Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).
5. Не допускается замена задач контрольной работы другими заданиями.
6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.
7. Чертежи к задачам (там где это возможно) должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены.
8. В конце работы приводится список использованной литературы (указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата окончания работы и подпись.
9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые приведены на с. 7-9, а также в учебнике [3, §5.7].
Если работа получила в целом положительную оценку («Зачтено»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на экзамене.
Если оценка работы «Не зачтено», то ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с незачтенной работой повторную работу направить снова на проверку.
Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет.
Если контрольные работы проводятся с частичным использованием КОПР, то необходимо дополнительно представить протокол ответа студента о работе с КОПР. Контрольные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
Найти ранг матрицы 
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
=(2;4; – 6); 
=(1;3;5); 
=(0; – 3;7); 
=(3;2;52)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 
и уравнение его диагонали 
. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать чертеж.
6. Найти расстояние от плоскости 
до начала координат.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
.
2. Составить уравнения касательных к графику функции 
в точках ее пересечения с осями координат. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 
и построить схематично ее график.
4. Вычислить определенный интеграл:
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
| –1 | ||||
| 1,3 | 1,6 | 1,9 |
В результате их выравнивания получена функция 
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 
(найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 2
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
Найти ранг матрицы 
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
=(4;3;–1); =(5;0;4); =(2;1;2); =(0;12;– 6)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника 
и центр описанной окружности, если координаты остальных вершин треугольника 
и 
. Сделать чертеж.
6. Найти расстояние от плоскости 
до начала координат.
Контрольная работа № 2
|
.
, перпендикулярно прямой, образующей с положительным направлением оси Ох угол 135°. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 
и построить схематично ее график.
, 
, 
. Сделать чертеж.
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 
.
Найти ранг матрицы 
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
, 
и 
являются вершинами треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.
6. Определить, находятся ли точки 
, 
, 
и 
на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.
Контрольная работа № 2
1.Найти предел:
и 
в точках их пересечения. Сделать чертеж.
3.Исследовать функцию 
и построить схематично ее график.
, 
, 
. Сделать чертеж.
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью ВАРИАНТ 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
1. Решить матричное уравнение
где
и 
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
=(2;3;7); =(3;–2;4); =(–1;1;–1); =(1;1;3)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
6. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых 
и 
, а одна из вершин параллелограмма имеет координаты 
. Сделать чертеж.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
и линию пересечения плоскостей 
и 
.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
2. Написать уравнение касательной к параболе 
, пересекающей
ось абсцисс в точке 
и не имеющей общих точек с третьей координатной четвертью. Сделать чертеж.
3.Исследовать функцию  и схематично построить ее график.
|
4. Вычислить определенный интеграл:
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
|
| |||||
|
| –5,5 | –5 | –1 |
В результате их выравнивания получена функция 
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
.
ВАРИАНТ 5
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
Найти ранг матрицы 
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
=(3;4; – 3); =(2;1; – 4); =(– 5;5;0); =(8; – 16;17)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке 
, а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.
6. Определить, находятся ли точки 
, 
, 
, 
на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
.
2. При каких значениях параметра 
касательная к гиперболе 
пересекает ось абсцисс в точке 
. Сделать чертеж.
3.Исследовать функцию  и построить схематично ее график.
|
. 4. Вычислить определенный интеграл:
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
|
| |||||
|
| 2,5 | 4,0 | 5,1 | 6,5 | 7,4 |
В результате их выравнивания получена функция 
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 6
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
.
Установить, имеет ли матрица 
обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
=(– 2;1;7); =(3; – 3;8); =(5;4;1); =(18;25;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у которого две биссектрисы лежат на прямых 
и 
, а одна из его сторон на прямой 
. Сделать чертеж.
6. Найти угол между плоскостями 
и 
.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
.
2. Написать уравнение касательных к гиперболе 
, перпендикулярных прямой 
. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию  и построить схематично ее график.
|
4. Вычислить определенный интеграл:
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
|
| |||||
|
|
В результате их выравнивания получена функция 
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 7
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
.
Найти ранг матрицы
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Установить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
=(2;1;0); =(1;–1;2); =(2;2;–1); =(3;7;– 7)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Точки 
, 
и 
являются вершинами треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостей 
и 
.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
.
2.Написать уравнение касательной к параболе  , параллельной прямой, проходящей через точки (2; 3) и (7; 13). Сделать чертеж.
|
3. Исследовать функцию  и построить схематично ее график.
|
4. Вычислить определенный интеграл:
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
|
| |||||
|
| 5,5 | 6,5 | 7,5 |
В результате их выравнивания получена функция 
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 8
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
Определить, имеет ли матрица обратную.
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
=(1;1;1); =(0;2;3); =(0;1;5); =(2; –1;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых 
, 
.
6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
Контрольная работа № 2
1.Найти предел:
 .
|
в точках пересечения ее с параболой 
. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 
и построить схематично ее график.
, 
, 
и расположенной в первой четверти координатной плоскости. Сделать чертеж.
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью ВАРИАНТ 9
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и 
Определить, имеет ли матрица 
обратную.
2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
3. Решить систему линейных уравнений.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора =(1; –1;3); =(2;0;1); =(3;4; –5);
=(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Точка 
является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 
. Составить уравнение прямой, на которой лежит параллельная ей сторона этого квадрата.
6. Найти угол между плоскостями 
и 
.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел;
.
2. Написать уравнение касательной к гиперболе
|
в точке с ординатой, равной 4. Сделать чертеж.
и построить схематично ее график..
,
, 
и расположенной в первой четверти координатной
Используя метод наименьших квадратов,ВАРИАНТ 10
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)
Контрольная работа № 1
1.
2. 1. Даны матрицы
и 
Определить, имеет ли матрица 
обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
=(4;5;2); =(3;0;1); =(–1;4;2); =(5;7;8).
в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Найти координаты вершин углов прямоугольного
треугольника, если его катет и гипотенуза лежат на прямых
и 
соответственно, а одна из вершин, лежащих
на этом катете, имеет абсциссу, равную 2. Сделать чертеж.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки 
и 
.
Контрольная работа № 2
1. Найти предел 
.
2. Написать уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой, равной 1. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию  и схематично построить ее график.
| |
4. Вычислить определенный интеграл:
| |
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
, 
. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
|
| |||||
|
| 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,2 | 1,5 |
В результате их выравнивания получена функция
. Используя метод наименьших квадратов,
аппроксимировать эти данные линейной зависимостью
(найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в
смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
