III Интегральное исчисление

1. Первообразная функции

Опр. Функция F(x) над первообразной функции F(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка

Пр: 1) F(x)=sin x – первообр. F(x)=cosx, т.к.

2) - первооб. ,т.к .

Задача Док – ть, что F(x) – первооб. F(x)

1. 3.

2. 4.

 

Неопределенный . Его свойства.

Опр. Интегрирование – это процесс нахождения первообразованых

 

Опр. Множество первообразованых для данной функции F(x) над неопределенным интегралом и обозначается

Пр.

Таблица неопределенных интегралов

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .

12. .

13. .

14.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Если – постоянная величина, то .
2. 
3. .
4. .
5. .

Задача: Вычислить неопределенный интеграл.

Задача. Вычислить неопределенный интеграл.

 

Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур.

Опр. Фигура, ограниченная снизу отрезком оси ох, сверху

графиком функции , с боков отрезками х=а, х=b,

 

называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

 

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции , т.е. к интегрированию F(x).

Опр. 6.2. Разность называется интегралом от функции F(x) и обозначается .

- формула Ньютона – Лейбница.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком

 

 

Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.

 

 

Метод замены переменной (метод подстановки).

 

Существует три метода вычисления интегралов: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

Пример.

 

 

Дифференциальные уравнения.

Опр. Диф.уравнением называется уравнение, связывающее функцию , переменную x и производную f(x).

Опр. Если функция зависит только от переменной x, то диф.урав. называется обыкновенным.

Общий вид обыкновенного диф.уравнения. .

Опр.. Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком диф.уравнения.

-диф.уравнение первого порядка.

- диф. Уравнение второго порядка.

Решить диф.уравнение – значит найти первообразную функции f(x), т.е. вычислить неопределенный интеграл от F(x).

 

Пусть дано диф.ур. первого порядка , необходимо его решить.

общее решение диф.уравнения.

Алгоритм решения диф.уравнений:

1.

2. домножаем обе части уравнения на и переносим слагаемые с в другую сторону.

3. Переменные, содержащие x переносим к , а переменные, содержащие y к .

4. Интегрируем обе части уравнения.

Пример. Решить диф.уравнение.

Уравнению вида можно придать вид

 

Опр.. Уравнение (*) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (**) – уравнением с разделенными переменными.

Пример.