Исследование функции с помощью производной.
Пусть 
композиция двух функций.
Т.3.1. Если функция 
дифференцируема по x, а функция 
дифференцируема по y, то сложная функция 
дифференцируема по x, причем её производная вычисляется по формуле: 
Пример. 
Задача. Найти производную сложной функции.
Опр.. Точки мах и min функции называются точками экстремума функции.
Пример. Y=|x|, x=0 – точка min.
Т.3.2. пусть выполняются следующие условия:
1. 
стационарная точка дифференцируемой функции, т.е. 
.
2. При переходе аргумента x через точку 
производная меняет знак,
Тогда точка является точкой экстремума функции 
, причем:
1) Если при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.
2) Если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», то - точка максимума.
Пример. 
Опр. Функция 
называется выпуклой вниз на (a,b), если какова бы ни была точка , график этой функции целиком находится над графиком касательной, проходящей через эту точку.
Аналогично выпуклая вверх с заменой слов «над» графиком на слова «под» графиком.
Опр.. Точка называется точкой перегиба графика функции , если при переходе через эту точку, функция меняет направление выпуклости.
Т. Пусть дважды дифференцируема на (a,b) и точка является точкой перегиба, тогда 
.
Пример. 
Т. пусть точка является корнем уравнения , тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба функции , причем:
1) Если при переходе через 
меняет знак с «-» на «+», то выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх.
2) Если при переходе через меняет знак с «+» на «-», то выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз.
Схема исследования функции с помощью производной:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать функцию на четность (нечетность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
4) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
5) определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;
6) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
7) найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее
график. Решение:
1. Область определения 
.
2. Функция непрерывна во всей ее области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.
3. Функция четная, так как 
:
.
График функции симметричен относительно оси ординат.
4. Экстремумы и интервалы монотонности.
. Из уравнения 
получим три критические точки: 
. Исследуем характер критических точек. Для этого методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (- ∞; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; + ∞).
На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция убывает, на интервалах (-1; 0) и (1; +∞) - возрастает. При переходе через критические точки x1 = -1 и х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этих точках функция имеет минимум. 
; 
.При переходе через критическую точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум уmax = ƒ(0)=5.
5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
. Из уравнения 
получим 
и 
. Определяем знак второй производной в каждом из интервалов:
, 
, 
.
Таким образом, кривая, вогнутая на интервалах и и выпуклая на интервале , а 
, 
- точки перегиба.
;
.
6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: 
, 
;
.
Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.
7. Дополнительные точки, уточняющие график:
; 
. Построим график функции:
Задачи.
1. Вычислить производные.
2. Построить график функции.
