Механический и магнитный моменты атома водорода

Представление физических величин квантовомеханическими операторами

В физике принимают как постулат идею о том, что каждой измеряемой физической величине А соответствует квантовомеханический оператор Â, такой, что действие этого оператора на собственную волновую функцию дает физически измеримую величину, умноженную на эту функцию

. (6.1)

Единственно возможным результатом измерений физической величины является собственное значение соответствующего оператора.

Полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной. Тогда из (4.1) и (4.3) следует, что оператор полной энергии

− (операция дифференцирования по времени), (6.2)

оператор кинетической энергии

, - (операция дифференцирования по координатам), (6.3)

оператор потенциальной энергии

− (операция умножения). (6.4)

Для одномерной задачи

. (6.5)

Из связи между кинетической энергией и импульсом р

следует, что оператор импульса

, (6.6)

а его проекции на декартовы координатные оси

. (6.7)

Операторы координат

− (операция умножения) (6.8)

Момент импульса частицы относительно начала координат в классической физике определяется векторным произведением радиус – вектора и импульса. В квантовой механике такое определение не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы оба вектора и имели определенные значения. В квантовой механике векторному произведению соответствует оператор

, (6.9)

а его проекции на декартовы оси

(6.10)

 

Квантование момента импульса

При изучении движения в центрально симметричном поле важную роль играет момент импульса относительно неподвижного центра (для атома таким центром является ядро). Его значение связано с тем, что сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле.

Для определения вектора момента импульса (его величины и направления) нужно знать все три его проекции. В квантовой механике существует теорема о том, что две величины А и В измеримы одновременно только, если соответствующие им операторы и коммутируют, т.е. удовлетворяют соотношению

.

Используя соотношения (6.10) нетрудно показать, что

Таким образом, любые две проекции оператора момента импульса не коммутируют между собой. Поэтому не существует состояния, в котором бы все три проекции и даже какие – либо две из трех проекций имели определенные значения. Значит, не существует состояния, в котором бы сам вектор момента импульса имел определенное значение, т.е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Иными словами, оператор момента импульса не имеет собственных функций и соответствующих им собственных значений.

Можно показать, что коммутирующими операторами являются оператор квадрата момента импульса и оператор проекции момента импульса на некоторое направление. Следовательно, характеристиками данного состояния являются модуль момента импульса и его проекция на некоторое выделенное направление, которые можно одновременно определить.

Перейдя от декартовых координат к сферическим, получим

(6.11)

Вычислим проекцию момента импульса на ось z, приняв во внимание (5.14)

(6.12)

Теперь найдем квадрат модуля момента импульса. Используя выражения (6.11), (5.10) и (5.11), запишем

Из (5.12) следует, что выражение в квадратных скобках равно . Тогда

, . (6.13)

Таким образом, орбитальное или азимутальное квантовое число l определяет разрешенные значения момента импульса частицы, а магнитное квантовое число − значения его проекции на выделенное направление. Напомним, что разрешенные значения энергии атома задаются квантовым числом п, которое называется главным квантовым числом.

Отметим еще раз, что классический и квантовый моменты импульса существенно различаются.

Во-первых, классический момент зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус–вектор. В квантовой теории момент импульса не зависит от выбора точки О.

Во-вторых, модуль момента импульса может быть задан точно, но при этом его направление не определено. Вместе с заданием модуля момента импульса можно задать его проекцию лишь на одну из координатных осей, например, z, две другие проекции могут быть любыми. Целочисленность (в единицах ) проекции момента импульса можно истолковать как квантование ориентации вектора (правда, только относительно одной оси). Пространственная ориентация его остается неизвестной.

Проекция вектора не может быть больше его модуля (). Поэтому должно выполняться условие , т.е. максимальное значение равно l. Отсюда следует, что число принимает значения

= 0, ±1, ±2, …± l, (6.14)

и всего при заданном l число может иметь значений .

Таким образом, в квантовой теории можно определить модуль момента импульса и его проекцию на одну координатную ось (ось произвольна). Направление же этого вектора остается неопределенным.

Для наглядности пространственное квантование момента импульса обычно представляют графически на векторных диаграммах. По оси z откладывают возможные значения , рассматривая их как проекции вектора длины , имеющего дискретные направления в пространстве. Неопределенность остальных двух проекций представляют как прецессию этого вектора относительно оси z. В качестве примера на рис.6.1 приведена векторная диаграмма для случая l = 2 (за единицу момента принята постоянная Планка ). Эту диаграмму нельзя понимать буквально. Она правильно передает Рис. 6.1 только два факта: возможные значения и l.

 

Магнитный момент атома водорода

Пусть по классическим представлениям электрон движется со скоростью V по орбите радиусом r. Через площадку, пересекающую его орбиту, переносится ежесекундно заряд (е – заряд электрона, число оборотов электрона вокруг ядра в секунду) Скорость электрона можно представить . Движущийся по орбите электрон образует круговой ток. Магнитный момент такого тока в системе СИ равен . Учитывая, что момент импульса электрона , получим

. (6.15)

Знак минус указывает, что направления обоих моментов противоположны, поскольку для отрицательно заряженного электрона направление тока противоположно направлению его движения. Соотношение (6.15) называют гиромагнитным отношением. Оно справедливо и в квантовой теории.

Тогда, принимая во внимание (6.15) и (6.13), можно записать

, (6.16)

. (6.17)

Постоянная величина называется магнетоном Бора. Ее значение в системе СИ . (В гауссовой системе единиц )

 

Лекция 7