Взаимное расположение плоскостей

Аналогично случаю прямых на плоскости, можно доказать, что две плоскости, заданные своими общими уравнениями и

· совпадают при

· параллельны при

· пересекаются в остальных случаях.

Полупространства, связанные с данным уравнением плоскости

Пусть дана плоскость в пространстве. Две точки и лежат по одну сторону от плоскости, если отрезок не пересекается с данной плоскостью. Полупространством называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от плоскости.

Аналогично случаю прямой на плоскости множества и всех точек , для которых и , являются полупространсвами, ограниченными плоскостью.

Множество называют отрицательным полупространством по отношению к уравнению (14) плоскости, а — положительным полупространством.

Цилиндрические координаты (рис. 4.6)

Главные значения , , :

Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:

Сферические координаты (рис. 4.7)

Главные значения , , :

Иногда вместо рассматривают :

Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами

или

Прямая на плоскости

Общее уравнение Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)

или

или

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)

или

где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Отклонение точки от прямой

или

где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.

Расстояние от точки до прямой

Взаимное расположение двух прямых

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или или

Расстояние между параллельными прямыми

Если прямые заданы уравнениями и то

а если уравнениями и то

Пучок прямых

Если - центр пучка, то уравнение пучка

Если центр задан пересечением двух прямых

то уравнение пучка

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Канонические уравнения прямой

Уравнения прямой по двум точкам

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

при условии, что не имеют места равенства

Направляющий вектор такой прямой

где