Аналогично случаю прямых на плоскости, можно доказать, что две плоскости, заданные своими общими уравнениями 
и 
· совпадают при 
· параллельны при 
· пересекаются в остальных случаях.
Полупространства, связанные с данным уравнением плоскости
Пусть дана плоскость в пространстве. Две точки 
и 
лежат по одну сторону от плоскости, если отрезок 
не пересекается с данной плоскостью. Полупространством называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от плоскости.
Аналогично случаю прямой на плоскости множества 
и 
всех точек 
, для которых 
и 
, являются полупространсвами, ограниченными плоскостью.
Множество называют отрицательным полупространством по отношению к уравнению (14) плоскости, а — положительным полупространством.
Цилиндрические координаты (рис. 4.6)
Главные значения 
, 
, 
: 
Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:
Сферические координаты (рис. 4.7)
Главные значения , , 
: 
Иногда вместо рассматривают 
: 
Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами
или 
Прямая на плоскости
Общее уравнение Ax + By + C (
> 0).
Вектор 
= (А; В) - нормальный вектор прямой.
В векторном виде: 
+ С = 0, где 
- радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
Частные случаи:
1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
4) y = 0 - ось Ox;
5) x = 0 - ось Oy.
Уравнение прямой в отрезках 
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)
где 
- угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь 
- нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если 
и произвольно, если C = 0.
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где 
- фиксированная точка, лежащая на прямой; 
- направляющий вектор (см. рис. 4.11).
В координатах (параметрические уравнения):
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)
или
или
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)
или 
где 
b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Отклонение точки от прямой
или 
где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Прямые 
и 
:
пересекаются 
параллельны (но не совпадают) 
совпадают 
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или 
или 
Расстояние между параллельными прямыми
Если прямые заданы уравнениями 
и 
то
а если уравнениями 
и 
то
Пучок прямых
Если 
- центр пучка, то уравнение пучка
Если центр задан пересечением двух прямых
то уравнение пучка
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где 
- фиксированная точка, лежащая на прямой; 
- направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
где
