Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут

· совпадать;

· быть параллельными;

· пересекаться.

Пусть даны две прямые и , задаваемые уравнениями и соответственно. Определим условия, необходимые и достаточные для определения взаимного расположения данных прямых.

Теорема. Для того чтобы прямые и совпадали необходимо и достаточно, чтобы

(7)

Доказательство. Необходимость. Векторы и являются направляющими для прямых и , значит, они коллинеарны. Существует такое число , что

Умножим уравнение второй прямой на и вычтем его из уравнения первой прямой.

Это равносильно условию (7). Достаточность. Из условия (7) следует, что

для некоторого , то есть уравнения, задающие прямые и , эквивалентны.

Теорема. Прямые и параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда (8)

Доказательство. Необходимость следует из пропорциональности направляющих векторов и справедливости предыдущей теоремы.

Достаточность. Первая часть условия (8) дает параллельность направляющих векторов, вторая — несовпадение прямых.

Теорема. Прямые и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (9)

Доказательство. Данное утверждение следует из предыдущих двух теорем. Полуплоскости, связанные с данным уравнением

Пусть даны плоскость и лежащая на ней прямая. Две точки и лежат по одну сторону от прямой, если отрезок не пересекается с данной прямой. Полуплоскостью называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от прямой.

Теорема. Если прямая на плоскости задана уравнением (5), то множества и всех точек , для которых и , являются полуплоскостями, ограниченными прямой .

Доказательство. Пусть точки и лежат в множестве . Рассмотрим произвольную внутреннюю точку отрезка . Поскольку эта точка делит отрезок в некотором соотношении , ее координаты

Учитывая очевидное тождество , получаем

так как обе точки и принадлежат . По определению полуплоскости лежит в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой . Аналогичные рассуждения верны и для . Поскольку плоскость исчерпывается множествами , и , то множества и лежат в разных полуплоскостях и исчерпывают их.

Множество называют отрицательной полуплоскостью по отношению к уравнению (5) прямой , а — положительной полуплоскостью.

Если ту же прямую задать другим уравнением

(5')

то существует такое , что . Очевидно, что при положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения (5') совпадают с такими же для уравнения (5), а при полуплоскости меняются местами.

Плоскости в пространстве

Утверждения о плоскости в пространстве аналогичны утверждениям о прямой на плоскости. Основное различие — в размере формул. Поэтому при выводе формул, принципиально не отличающихся от формул для прямой на плоскости, некоторые детали будут опущены.

Уравнения плоскости

Пусть известны координаты точки и два неколлинеарных вектора и , лежащих в плоскости. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую плоскости. Вектор , очевидно, лежит в плоскости, что по определению означает, что векторы компланарны. В силу линейной независимости векторов и , это значит, что вектор можно линейно выразить через и :

(10)

Обозначим через и радиусы-векторы точек и соответственно. Тогда и уравнение принимает вид

Или (11)

Уравнение (11) называют векторным уравнением плоскости'.

Возьмем некоторую аффинную систему координат в пространстве. Пусть точки и векторы имеют координаты

Переходя от равенства векторов к равенству их координат, получаем (12

Это параметрические уравнения плоскости. Эквивалентная система уравнений выражает линейную зависимость столбцов матрицы

что эквивалентно равенству (13)

или (после раскрытия определителя по первой строке) уравнению

Обозначив , получим общее уравнение плоскости (14)

Аналогично случаю плоскости можно доказать, что в пространстве плоскости и только плоскости описываются уравнением первой степени.

Если плоскость задана тремя точками с координатами , не лежащими на одной прямой, то принимают . Тогда уравнение (13) принимает вид