Лекция 1.1. Числовые матрицы и действия над ними.
Краткое содержание: Место линейной алгебры и аналитической геометрии в естествознании. Роль отечественных ученых в развитии этих наук. Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства.
Таблица чисел вида 
называется прямоугольной матрицей размерности 
. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, …Числа, из которых состоит таблица, называют элементами матрицы. Каждый элемент 
имеет два индекса 
и 
, обозначающие соответственно номер строки () и номер столбца(), в которых расположен данный элемент. Используются следующие обозначения матрицы .
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и если числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, матрицу называют квадратной. В квадратной матрице число строк (или столбцов) называют порядком матрицы. В частности квадратная матрица первого порядка – это просто действительное число. Соответственно говорят, что вектор строка 
есть матрица размерности 
, а вектор-столбец 
имеет размерность 
.
Элементы, стоящие на главной диагонали квадратной матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), называются диагональными.
Квадратная матрица все элементы которой не лежащие на главной диагонали равны 0 называется диагональной.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все внедиагональные – 0, называется единичной и обозначается 
или 
, где n- ее порядок.
Основные операции над матрицами – сложение матриц и умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А на число 
называется матрица той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой умножен на это число .
Например: 
; 
.
Свойства операции умножения матрицы на число:
1. l(m А)=(lm) А (ассоциативность)
2. l(А + В)= l А +l В (дистрибутивность относительно сложения матриц)
3. (l+m) А =)=l А +m А (дистрибутивность относительно сложения чисел)
Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида: a А +b В, где a,b - произвольные числа
Суммой матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В.
Свойства сложения матриц:
1) А + В = В + А (коммутативность)
2)(А + В)+ С = А +(В + С)= А + В + С (ассоциативность)
Разностью матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Транспонирование. Если элементы каждой строки матрица 
размерности записать в том же порядке в столбцы новой матрицы, причем номер столбца будет равен номеру строки, то новую матрицу называют транспонированной по отношению к и обозначают 
. Размерность равна 
Переход от к называется транспонированием. Ясно так же, что 
. 
, 
Умножение матриц. Операция умножения матриц возможна лишь в том случае, если число столбцов первого множителя равны числу строк второго. В результате умножения получим матрицу, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов с числом столбцов второго: 
Правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в –й строке и –м столбце произведения двух матриц, нужно элементы –й строки первой матрицы умножить на элементы –го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. На математическом жаргоне иногда говорят: нужно –ую строку матрицы умножить на –й столбец матрицы 
. Ясно, что строка первой и столбец второй матрицы должны содержать одинаковое количество элементов.
В отличие от этих операций операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложно. Пусть заданы две матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй: например, матрица А имеет размерность , а матрица В – размерность 
. Если
, 
, то матрица размерности 
, где 
(i=1,…,m;j=1,…,k)
называется произведением матрицы А на матрицу В и обозначается АВ.
ПР. 
Свойства операции умножения матриц:
1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность)
2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность)
3. А(В+С)=АВ+А (дистрибутивность)
4. Умножение матриц некоммутативно: АВ не равно ВА., если равно, то эти матрицы называются перестановочными.
Элементарные преобразования над матрицами:
1. Перемена местами двух строк (столбцов)
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля
3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на какое либо число
Лекция 1.2. Определители с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы.
Краткое содержание: Определители и их свойства. Методы вычисления определителей с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы дляматриц третьего порядка.
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы. Определитель – это число, которое находится по вполне определенным правилам и обозначается 
или det A.
Определитель матрицы второго порядка находится так: 
или
Определителем третьего порядка называется число:
.
Для запоминания этой громоздкой формулы существует «правило треугольников»:
Определитель третьего порядка можно посчитать и другим методом ‑ методом разложения по строке или по столбцу. Введем некоторые определения:
Минором 
квадратной матрицы А называется определитель матрицы А, который получается вычеркиванием –й строки и –го столбца: например для 
минор - 
.
Алгебраическим дополнением 
элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которых расположен элемент, четна, и с обратным знаком, если сумма номеров нечетна: 
.
Тогда: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.
ПР: Вычислим определитель: 
, разложив его по элементам первой строки.
Свойства определителей:
1.Определитель равен 0, если содержит две одинаковые строки (столбца) или нулевую строку (столбец).
2.Определитель меняет свой знак при перестановке двух строк (столбцов).
3.Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.
4.Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (другой столбец), умноженную на произвольное число.
5.Определитель не меняется при транспонировании матрицы 
.
6.Определитель еденичной матрицы равен 1: 
7.Определитель произведения матриц равен произведению определителей
Обратная матрица.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная матрица (АВ=ВА=Е), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А и обозначается 
, т.е. 
.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
