Балансовая модель производства.

В основе балансовой модели лежат следующие основные положения о свойствах экономической системы:

1. Экономическая система состоит из экономических объектов, причем количество продукции, выпускаемой каждым объектом, характеризуется одним числом.

2. Для выпуска данного вида продукции каждый объект получает определенное количество других видов продукции – комплектность потребления.

3. Свойство линейности: увеличение выпуска продукции в некоторое число раз требует увеличения потребления объектом других видов продукции в тоже число раз.

4. Выпускаемая каждым объектом продукция частично потребляется другими объектами, а частично поступает во вне в качестве конечной продукции данной экономической системы.

Сформулированные выше предположения лишь приблизительно отражают реальную экономическую ситуацию.

Но несмотря на это, балансовые модели являются удобным инструментом планирования ввиду их простоты.

1) Пусть экономическая система состоит из n – объектов .

2) Объем продукции, выпускаемой объектом , обозначим через .

3) Конечный продукт – через .

4) Через обозначим ту часть продукции объекта , которая потребляется объектом .

Задача состоит в составлении плана для данной экономической системы, т.е. на основании n чисел определить чисел .

Неизвестные должны удовлетворять ограничениям 2-ух типов:

- локальным ограничениям характеризующим свойства объекта

- и глобальным ограничениям (требование равенства производства каждого вида продукции, потребности в ней)

1. Рассмотрим локальные ограничения свойств экономического объекта.

В экономической системе, для того, чтобы охарактеризовать один экономический объект необходимо указать количество других объектов, необходимых объекту для того, чтобы была произведена единица продукции объектом .

В соответствии с предположением о комплектности, требуемое количество i и j определяется однозначно с помощью технологических коэффициентов (заданные величины)

(1)

Коэффициент – называется коэффициентом прямых затрат.

Данным коэффициентам соответствует матрица А=(), называемая матрицей прямых затрат.

Важной особенностью А является неотрицательность ее элементов, что запишем ее следующим образом А³0

2. Рассмотрим глобальные ограничения.

Введем следующие обозначения:

- вектор, характеризующий полный выпуск продукции всеми объектами.

- вектор, характеризующий объем продукции, идущий вовне.

Для того, чтобы объект мог выпустить единиц продукции, он должен получить единиц продукции объекта .

Тогда все объекты системы должны получить единиц продукции объекта .

Т.к. объект производит j- конечный продукт в V , то полный выпуск продукции объектом : , (2)

Данная система уравнений (2) представляет собой систему уравнений балансовой модели.

В векторно-матричном виде перепишем систему следующим образом:

(3)

В системе (3) известными являются матрица А и вектор конечной продукции .

Неизвестным является , которое назовем планом данной экономической системы.

Для исследования системы балансовых уравнений перепишем систему (3) в следующем виде:

, (4)

откуда

Т.е. необходимым и достаточным условием существования и единственности решения уравнения (3) является невырожденность матрицы .

Однако, исследование уравнений балансовой модели усложняется тем, что должен удовлетворять условию неотрицательности.

Следует отметить, что не при любой неотрицательной матрице А система балансовых уравнений имеет неотрицательное решение.

Пример.

1)

тогда система балансовых уравнений имеет вид:

Из полученного уравнения следует, что если , то не существует неотрицательных чисел и удовлетворяющих системе балансовых уравнений.

С экономической точки зрения особый интерес представляют системы, которые имеют неотрицательные решения при любом . Поэтому исследование систем балансовых уравнений сводится к установлению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение при любом .

Определение.

Назовем неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор , что .

С экономической точки зрения данное неравенство означает, что матрица А продуктивна, если существует такой план , что каждый объект экономической системы производит некоторое количество конечной продукции.

Сформулируем критерий продуктивности матрицы А.

Неотрицательная матрица А продуктивная тогда и только тогда, когда матрица существует и не отрицательна.

Продуктивность матрицы А является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решений системы балансовых уравнений.

Рассмотрим экономический смысл матрицы :

1) Пусть - j-тый столбец матрицы S, тогда

2) Рассмотрим частный случай вектора конечной продукции:

Данное условие означает, что в экономической системе конечный продукт в количестве одной единицы выпускает только объект , остальные объекты конечной продукции не выпускают.

В этом случае , элемент равен количеству продукции, которое должен выпустить объект для того, чтобы объект мог выпустить одну единицу конечной продукции.

Матрицу S называют матрицей полных затрат.

Пример.

Пусть экономическая система состоит из экономических объектов и . Данные приведены в следующей таблице.

Найти матрицу А по матрице S.

Решение:

1) Матрица А определяет коэффициенты

Итак,

2)

Следует отметить, что элементы матрицы S могут быть существенно больше элементов матрицы А. Это объясняется тем, что элементы указывают не только непосредственные поставки продукции объекта объекту , но и поставки продукции объекта другим объектам для того, чтобы эти объекты могли в свою очередь поставить объекту требуемые количества их продукции.

Из систем балансовых уравнений следует, что планируемый орган управляющий экономической системой может определить план если точно известны элемент матрицы А и размеры матрицы А не слишком велики. На практике эти условия не имеют места, но при решении практических задач известны характеристики определенных объектов, т.е. информация в экономической системе рассредоточена между объектами. Поэтому при построении плана работы экономической системы необходимо согласование планов не только между отдельными экономическими объектами, но и согласование планов с планирующим органом.

Назовем данную задачу задачей управления.

Процедура решения задачи управления состоит из ряда шагов обмена информацией между планирующим органом и экономическими объектами.

На каждом шаге планирующий орган устанавливает задание каждому объекту на основании накопленной информации. После этого каждый объект сообщает планирующему органу какое количество продукции других объектов ему необходимо для выполнения установленного задания.

Планирующий орган на основании информации экономических объектов составляет новый план для каждого объекта и т.д.

Назовем данную процедуру составления плана процедурой перезаказов.

Пусть - вектор конечного продукта, который должен произвести исследование экономической системы.

На первом шаге планирующий орган сообщает каждому объекту в качестве задания число в ответ объект сообщает планирующему органу заказы на продукцию других объектов для выполнения задания .

Из данного выражения следует, что для составления заказов объекту должны быть известны только коэффициенты матрицы А и конечной продукции.

Собрав всю информацию от всех объектов, планирующий орган составляет новое задание .

На втором шаге планирующий орган сообщает экономическим объектам новое задание: объект получает в качестве задания . В ответ на полученное задание от объекта поступает новый заказ, который равен и планирующим органом составляется новое задание , т.е. на k-том шаге планирующим органом формируется задание .

Сформируем следующую теорему.

Теорема.

Если матрица А продуктивная, то .

Из данной теоремы следует, что при вектор задания стремиться к вектору , являющемуся решением системы балансовых уравнений.

При составлении плана методов перезаказов можно предположить, что планирующему органу не следует решать систему балансовых уравнений, т.е. не следует предварительно рассчитывать план для экономической системы. Однако на практике процедура перезаказов может включать лишь небольшое число шагов k, поэтому при небольшом числе k ошибка в определении плана может быть велика. Если же планирующий орган на основании системы балансовых уравнений получит приближенное решение, то при этом существенно уменьшится ошибка в вычислении в процедуре перезаказов.

Для этого на первом шаге планирующий орган должен сообщить в качестве задания не вектор , а полученное им приближенное решение и действовать так, как было описано выше.

При этом, чем меньше приближенное решение отличаются от точного решения, тем меньше число шагов требуется для выполнения процедуры перезаказов.

При исследовании экономической системы предполагается, что экономическим объектам требуется только продукция других объектов этой же системы. Однако, при решении практических задач должны учитываться факторы производства и потребности в продукции других экономических систем.

Назовем факторы производства и потребность в продукции других систем просто факторами.

Потребность экономической системы в факторах характеризуется вектором , где – потребность в i –том факторе. Числа могут измеряться как в натуральных единицах, так и в денежных единицах.

Если потребление объекта в факторах обозначим через , то матрица , ; представляет собой матрицу прямых затрат факторов.

В этом случае план для экономической системы равен .

Следует отметить, что вектор является решением системы балансовых уравнений, но т.к. факторы ограничены, то должно выполняться следующее условие: , где - вектор ограничений факторов.