Применение пределов в экономических расчетах

I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Кривая безразличия – кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета – кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей – кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса – кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса – кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера – кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Пример 1. Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице.

Тип поезда	Количество вагонов в составе
плацкартных	купейных	мягких
Пассажирский
Скорый
Резерв вагонов

Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить на плоскости область допустимых вариантов формирования поездов.

Решение. Обозначим через x количество пассажирских поездов, а через y - количество скорых. Получим систему линейных неравенств:

Построим соответствующие прямые:

записав их уравнения в виде уравнений прямых в отрезках: , , , , .

Заштрихуем полуплоскости, удовлетворяющие данным неравенствам, и получим область допустимых значений:

Рис. 1

Итак, количество скорых поездов не превышает 10, а пассажирских должно быть не более 7.

Пример 2. Имеются два пункта производства (A и B) некоторого вида продукции и три пункта (I, II, III) его потребления. В пункте A производится 250 единиц продукции, а в пункте B – 350 единиц. В пункте I требуется 150 единиц, в пункте II – 240 единиц и в пункте III – 210 единиц. Стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта производства в пункт потребления дается следующей таблицей.

Таблица 1

Пункт	Пункт потребления
производства	I	II	III
A
B

Требуется составить план перевозки продукции, при котором сумма расходов на перевозку будет наименьшей.

Решение. Обозначим количество продукции, перевозимой из пункта A в пункт I через x, а из пункта A в пункт II – через y. Так как полная потребность в пункте I равна 150 единицам, то из пункта B надо завезти единиц. Точно так же из пункта B в пункт II надо завезти единиц. Далее: производительность пункта A равна 250 единицам, а мы уже распределили единиц. Значит, в пункт III идет из пункта A единиц. Чтобы полностью обеспечить потребность пункта III, осталось завезти единиц из пункта B. Итак, план перевозок задается следующей таблицей.

Таблица 2

Пункт	Пункт потребления
производства	I	II	III
A	x	y
B

Чтобы найти полную стоимость перевозки, надо умножить каждый элемент этой таблицы на соответствующий элемент предыдущей таблицы и сложить полученные произведения. Получим выражение:

.

По условию задачи требуется найти минимум этого выражения. Но величины x и y не могут принимать произвольных значений. Ведь количество перевозимой продукции не может быть отрицательным. Поэтому все числа таблицы 2 неотрицательны:

, , , , , . (1)

Итак, нам надо найти минимум функции в области, задаваемой системой неравенств (1). Эта область изображена на рис. 2 – она является многоугольником, ограниченным прямыми:

, , , , , .

Рис. 2.

Находим координаты вершин многоугольника: , , , , , . Очевидно, что функция принимает наименьшее значение в одной из вершин многоугольника .

В самом деле, выясним, где располагаются точки, в которых значения этой функции одинаковы (так называемые линии уровня функции . Если значение функции равно c, где с – вещественная константа, то . Но это уравнение прямой линии. Значит, для функции S линиями уровня являются прямые линии, которые параллельны друг другу при различных значениях c. Если линия уровня пересекает многоугольник, то соответствующее значение c не является ни наибольшим, ни наименьшим. Ведь немного изменив c, мы получим прямую, которая также пересекает многоугольник. Если же линия уровня проходит через одну из вершин, причем весь многоугольник остается по одну сторону от этой линии, то соответствующее значение c является наибольшим или наименьшим.

Итак, функция принимает наименьшее значение на многоугольнике в одной из его вершин. Поскольку мы уже знаем эти вершины, то подставим соответствующие значения координат и найдем, что

, , ,

, , .

Наименьшим из этих значений является 2300. Это значение функция принимает в точке . Значит, , . Подставляя эти значения в план перевозок (см. таблицу 2), получаем:

Таблица 3

Пункт	Пункт потребления
производства	I	II	III
A
B

Таким образом, из пункта A в пункт I надо перевезти 10 единиц продукции, из пункта A в пункт II – 240 единиц и т. д. Стоимость намеченного плана равна 2300.

Рассмотренная задача относится к большому классу задач, возникающих не только в экономике, но и в других областях человеческой деятельности. Задачи такого типа называются задачами линейного программирования.

Пример 3.

Рассмотрим формулу простых процентов:

.

В этой формуле I – это проценты за весь срок, P – первоначальная сумма, S – сумма, образованная к концу срока ссуды, i – ставка процентов в виде десятичной дроби. Начисленные проценты за один период (месяц, квартал, год) составят величину, равную , за n периодов – . Процесс роста суммы долга по формуле простых процентов легко представить графически. Перепишем S в виде , откуда легко увидеть линейную зависимость между S и n, т. е. это уравнение прямой с угловым коэффициентом. Поскольку n – это независимая переменная, то, совместив ось On с горизонтальной осью, как это обычно и делается, а ось OS – c вертикальной осью, построим график функции S.

S

 

S

 

Pi

P

 

 

O 1 2 n

Рис. 3.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Пример 4. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины M ₁, M ₂ и M ₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М ₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М ₂ – 70, а в М ₃ – 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М 1	М 2	М 3

Решение. Обозначим через A матрицу, данную нам в условии, а через B - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

, .

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 5. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т ₁, Т ₂, Т ₃, Т ₄. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор C = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие	Расход ткани
Т 1	Т 2	Т 3	Т 4
Зимнее пальто
Демисезонное пальто
Плащ

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

Решение. Обозначим через A матрицу, данную нам в условии, т. е.,

,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу A:

X × A = (10,15, 23) = =

= (95, 40, 92, 129).

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу A и вектор C^T:

А × C^T = = .

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

X × A × C^T = (10,15,23)× = .

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X × A × P^T = (95, 40, 92, 129)× .

Итак, X × A × C^T + X × A × P^T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед.).

Пример 6. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа A, 300 заготовок типа B и 675 заготовок типа C. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки
A
B
C

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 x заготовок типа A, при втором –2 y, при третьем –z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа A сумма 3 x +2 y + z должна равняться 360, т.е.

3 x +2 y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6 y +2 z = 300

4 x + y + 5 z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам B и C. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, B и C. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример 7. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через количество груза (в тоннах) i -го вида (i = 1,2,3), которое предполагается разгрузить j -м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000, (5.7)

где x ₁₁, x ₁₂ - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000. (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x ₃₁ = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x ₃₂ =3000. (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x ₁₁ + x ₂₁ = 8000. (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3 x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ + 5,25 x ₂₁ + 6,4 x ₂₂ + 3,25 x ₃₂ = 58850. (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) – (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3 x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ +5,25 x ₂₁ +6,4 x ₂₂ = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x _11, x ₁₂, x ₂₁, x ₂₂, расширенная матрица которой имеет вид:

.

Преобразуем ее к треугольному виду:

.

Наша система равносильна следующей:

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000,

– x ₁₂ + x ₂₁ = 2000,

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000,

–2,35 x ₂₂ = –4700,

откуда x ₂₂ = 2000, x ₂₁ = 2000, x ₁₂ = 0, x ₁₁ = 6000.

Пример 8. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий A и B из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий A и 328 изделий B.

Изделие	Выход из единицы сырья
I	II	III	IV
A
B

Решение. Обозначим через x ₁, x ₂, x ₃, x ₄количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 94,

2 x ₁ + x ₂ + 7 x ₃ + 4 x ₄ = 574,

6 x ₁ +12 x ₂ +2 x ₃ + 3 x ₄ = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

~ ~ .

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x ₄ - свободное. Исходная система равносильна следующей:

x ₁ + x ₂ + x ₃ = 94 – x ₄,

– x ₂ + 5 x ₃ = 386 – 2 x ₄,

26 x ₃ = 2080 – 9 x ₄.

Из последнего уравнения находим x ₃ = 80 – 9/26 x ₄, подставляя x₃ во второе уравнение, будем иметь: x ₂ = 14 + 7/26 x ₄ и, наконец, из первого уравнения получим: x ₁ = –12/13 x ₄. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x ₁ и x ₄ не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x ₁ = –12/13 x ₄ получим: x ₁ = x ₄ = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

Пример 9. Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

, (1)

или, в матричной форме,

A × X + Y = X, (2)

где A = (a_ij) – матрица коэффициентов прямых затрат, Х – вектор валовых выпусков, Y – вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E – A) X = Y, (3)

где E – единичная матрица n -го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E – A)^-1 Y. (4)

Здесь (E – A)^-1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b_ij матрицы (E – A)^-1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x_i в виде функций планируемых значений y_j конечных продуктов отраслей:

.

Пример 10. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск” X = A × X + Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

;

Решение. Имеем: Y = (E – A) X, где E – единичная матрица третьего порядка.

,

значит,

.

Пример 11. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A = .

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

(0,125 – l)² – 0,140625 = 0 Þ 0,125 – l = ± 0,375.

Следовательно, l₁ = 0,5; l₂ = –0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E – A)^-1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

.

Обозначим , тогда .

Следовательно,

X =

.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Предел функции

Пример 12. Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150×1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100×(1 +1/3)³»237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10)¹⁰» 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100)¹⁰⁰» 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000)¹⁰⁰⁰» 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

.

Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

Пример 13. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

. (1)

Здесь P – первоначальная сумма, i – ставка процентов (в виде десятичной дроби), S – сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n -го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S – P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:

Þ .

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется, прежде всего, тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

.

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m – число периодов начисления в году, i – годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем:

.

Поскольку , то .

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через d, тогда .

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m ®¥. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.