1. Напишіть, використовуючи мову логіки предикатів, такі речення:
а) ” число х більше 2 ”;
б) ” х сестра у ”;
в) ” діагоналі ромба перпендикулярні ”;
г) ”кожне явище має свою причину ”.
2. Перекладіть природною мовою такі висловлювання логіки предикатів:
а) ДОРІВНЮВАТИ (х, 10);
б) ЛЮБИТИ (мама (Каті), гімнастика);
в) БІЛЬШЕ (плюс (х, 1), 1).
3. Змінні функції ” х > у ” набувають значень на множині
{ 2,3,4 }; Р 
, Р 
– предикати, що задаються цією функцією відповідно при алфавітному і зворотному йому порядках. Необхідно встановити:
а) область визначення предикатів Р і Р ;
б) значення істинності Р (3,4) і Р (3,4).
4. Визначте еквівалентність таких предикатів:
а) х 
= х і х = 1;
б) х = 1 і х = 1;
в) х 
= 1 і х = 1.
5. Запишіть такі висловлювання, використовуючи логіку предикатів:
а) будь-яке парне додатне число;
б) існує таке число х, що х + 1 = 10;
в) для будь-якого х завжди х + 0 = х.
6. Вкажіть вільні та пов’язані входження кожної зі змінних у таких формулах:
а) 
х Р (х,у) 
х Q (х,у);
б) 
у Q (х,у) 
х Р (х,у);
в) х [(Р (х,у) 
Q (у)) у Р (х,у) ].
7. Наведені висловлювання для предиката Р(х,у), де " х сестра у ”, сформулювати природною мовою, визначивши їх значення істинності:
а) у х Р (х,у); г) у х Р (х,у);
б) х у Р (х,у); д) х у Р (х,у);
в) х у Р (х,у); е) х у Р (х,у).
8. Предикат 
задано на предметній області D={а, в} такою матрицею:
| х | а | а | в | в |
| у | а | в | а | в |
| Р(х,у) | Х | І | І | І |
Яка з наведених формул визначає цей предикат?
а) х у Р (х,у); г) у х Р (х,у);
б) у х Р (х,у); д) у Р (а;у);
в) х Р (х,а); є) х у Р (х,у);
9. Визначте вільні та пов’язані входження змінних у такі формули, що містять предикати Р і 
:
а) х Р (х , х );
б) х ( х 
Р (х , х ) Р (х , х ));
в) х ( х Р (х , х ) 
Р (х , х ));
г) х х Р (х , х ) Q (х );
д) х Р (х , х ) х Р (х , х ).
10. Знайдіть значення істинності таких предикатних виразів:
а) P (a, f (a)) P (b, f (b));
б) х y P (x,y) P (f (x), f (y))
на предикатній області D = { 3,4 } при значенні функціональних символів:
f(a) = 4, f(b) = 3; предикатів P(3,3,) = І, P(3,4,) =
= І, P(4,3,) = І, P(4,4,) = Х.
11. Оцінити формулу x P(x) Q (f(x),a) на інтерпретації при: D = { 1,2 };
a = 1; f (1) = 2; f (2) = 1;P (1) = Х; P (2) = І; Q (1,1) = = І; Q (1,2) = І;
Q (2,1) = Х; Q (2,2) = І.
12. Визначити рівносильність формул x P(x ), x P(x ) на двохелементній множині M = { a,b }.
13. Визначити рівносильність формул F=P(x1, x2)Ú P(x1, x3) і G=P(x ,x ) P(x ,x ), які задані на множині M = { a,b } предикатами Q (x,y) та Q (x,y), наведеними в таблицях
| х | у | 
| х | у | 
| |
|
| Х |
|
| х | |
|
| 
| І |
|
| І | |
|
|
| І |
|
| Х | |
|
|
| Х |
|
| І |
14. Для заданих предикатів х (Р (х) 
Q (х)) і
z (Р (z) Q (у)) встановити їх еквівалентність.
15. Винести за дужки квантори:
а) х Р (х,у) ( х Q (х) у Q (у));
б) х у Р (х,у) х у (Q (х, z) у Р (х,у));
в) х Р (х,у) ( у Р (у) Q).
16. Довести загальнозначущість формули
х Р (х) у Р (у).
17. Довести суперечливість формули
х Р (х) у Р (у).
18. Показати, що комутативні властивості для виразу
х у Р (х,у) 
у х Р (х,у)
не виконуються.
19. Довести, що:
а) ├ 
x (А → В) → ( x А → x В);
б) А, x А → В ├ x В;
в) ├ x1 x2 … xm А → А;
г) x (А → В) 
(А → x В);
д) x (В → А) ( х В → А);
е) x (А D) → ( x А x В).
Коментарі. Основні відомості з логіки предикатів, кванторів і формул логіки предикатів, викладені в цьому розділі, dзяті з [9, 20], рівносильність формул логіки предикатів і логічні висновки ‒ з [1, 7, 21], а закони, тотожності логіки предикатів і випереджені нормальні форми випливають із [20, 28].
