Округление приближенных чисел

В приближенных вычислениях часто приходиться округлять числа (как приближенные, так и точные), т.е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила:

– если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т.е. увеличивается на единицу;

– если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается;

– если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число (правило Гаусса), т.е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если – нечетная.

Пример: 15,458 ≈ 15,46; 22,144 ≈ 22,14; 36,655 ≈ 36,66.

 

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Точность приближенных чисел определяется числом значащих цифр. Например: число 28,3 имеет три значащих цифры. Число 0,00422 имеет тоже три значащих цифры. Число 1,06005 имеет шесть значащих цифр. Число 2500,0 имеет пять значащих цифр, так как оно верно до десятых долей единицы.

Если вместо числа 25643 взять число 26000, то говорят, что в округленном числе имеется две значащие цифры; рекомендуемая запись этого числа – 26310³.

 

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Точность измерений характеризуется погрешностями измерений. Погрешностью измерения называют разность между измеренным и ее точным значением a, т.е.

. (3.30)

Погрешность называется абсолютной.

Отношение погрешности к измеренной величине, выраженное дробью, в числителе которой единица, называют относительной погрешностью

. (3.31)

Вопросы для самопроверки

1. Какие измерения называют равноточными?

2. Что называется погрешностью измерений?

3. Как классифицируются погрешности измерений?

4. Какими свойствами обладают случайные погрешности?

5. Что называется СКП?

6. Что называется предельной погрешностью измерения?

7. По какой формуле вычисляется СКП линейной функции измеренных величин?

8. По какой формуле вычисляется СКП функции общего вида?

9. Чему равна СКП алгебраической суммы измеренных величин в случае равноточных измерений?

10. Что называется арифметической серединой или среднеарифметическим значением?

11. По какой формуле вычисляется СКП одного измерения, если имеется ряд результатов равноточных измерений одной и той же величины, точное значение которой неизвестно?

12. Во сколько раз СКП арифметической середины меньше СКП одного измерения, имея в виду равноточные измерения одной и той же величины?

13. Какие измерения называются неравноточными?

14. Что называется весом результата измерения?

15. Какими свойствами обладают веса результатов измерений?

16. Что называется СКП единицы веса?

17. Что такое обратный вес?

18. По какой формуле вычисляется обратный вес линейной функции измеренных величин?

19. По какой формуле вычисляется обратный вес функции общего вида?

20. Чему равен вес алгебраической суммы измеренных величин, если вес каждого измерения равен единице?

21. Чему равен вес арифметической середины, если вес каждого измерения равен единице?

22. Что называется общей арифметической серединой или средневесовым значением?

23. Что называют вероятнейшим значением измеряемой величины в случае неравноточных измерений этой величины?

24. Чему равен вес общей арифметической середины?

25. По какой формуле вычисляется СКП единицы веса, если известны погрешности результатов измерений и их веса?

26. По какой формуле вычисляется СКП общей арифметической середины, если известны СКП единицы веса и веса результатов измерений?

27. Что называется математической обработкой результатов неравноточных измерений одной и той же величины?

28. По какой формуле вычисляется СКП измерения угла, если даны невязки в полигонах или ходах?

29. По какой формуле вычисляется СКП нивелирования на 1 км хода, если известны невязки в полигонах или ходах?

30. Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?

31. Каков смысл доверительного интервала?

32. Дайте общую схему построения доверительного интервала.

33. Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежности?

34. Как изменяется доверительный интервал с увеличением объема выборки?

35. Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того, известны ли другие параметры точно или нет?

36. Как построить доверительный интервал при известном математическом ожидании?

37. Как построить доверительный интервал при неизвестном математическом ожидании?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3.

«УРАВНИВАНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОДОЛИТНЫХ ХОДОВ
С ОДНОЙ УЗЛОВОЙ ТОЧКОЙ»

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

Если плотность пунктов опорной плановой геодезической сети недостаточна для выполнения топографических съемок, то сеть сгущают путем развития планово-высотного съемочного обоснования, например, проложением теодолитных ходов.

На практике возможно появление ситуаций, когда в геодезических построениях имеются избыточные измерения и возникает неоднозначность получения координат пунктов.

Рассмотрим геодезическое построение в виде системы трех теодолитных ходов с одной узловой точкой. Практическая необходимость построения такой системы обусловлена невозможностью определения положения пунктов путем проложения одного теодолитного хода (например, из-за отсутствия на местности необходимой видимости). Ограничивающим фактором может быть, также, превышение допустимой длины одиночного теодолитного хода или нарушение каких-либо других нормативных требований.

Способы уравнивания разделяются на строгие, когда уравнивание выполняют под условием минимума суммы квадратов поправок в измеренные величины [ PV ²] = min, и нестрогие (раздельные), когда сначала уравнивают углы, а затем приращения координат.

При выборе способа уравнивания исходят, прежде всего, из необходимой точности получения координат пунктов. Если раздельное уравнивание обеспечивает указанное требование, то его применение предпочтительно, т.к. это упрощает процесс вычислений.

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Схема сети и результаты полевых измерений показаны на рис. 4.1. В соответствии с вариантом индивидуального задания (см. табл. 4 приложения), на схеме изменяют значения длины линии и угла. Координаты исходных пунктов представлены в табл. 5 (см. приложение). Координаты исходных пунктов изменяются в зависимости от варианта по формулам:

и ,

 

где n – номер варианта.

Рис. 4.1