Пусть 
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].
т.к. Ф(х) – обратная функция, то 
Окончательно получаем: 
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
Пример. Найти производную функции 
Способ 1: Выразим одну переменную через другую 
, тогда
Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: 
.
x2 = a2cos2t; 
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва 
, следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.
y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,
y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,
у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.
> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).
2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
4. Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
- наклонных асимптот не существует.
5. Находим точки экстремума.
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
` 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1
- 5x2 + 6x
` - 5x2 + 5x
x - 1
` x - 1
Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
| (-¥; ¼) | 1/4 | (¼; ½) | 1/2 | (½; 1) | (1; ¥) | ||
| f¢¢(x) | + | + | + | - | + | ||
| f¢(x) | - | + | + | + | + | ||
| f(x) | убывает вып. вниз | min | возрастает вып.вниз | перегиб | возрастает вып.вверх | перегиб | возрастает вып. вниз |
6. Построим график функции.
