Действия с комплексными числами

 

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

 

1) Сложение и вычитание

 

 

 

2) Умножение

 

 

В тригонометрической форме:

,

 

 

С случае комплексно – сопряженных чисел:

 

3) Деление

 

 

В тригонометрической форме:

 

 

4) Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

 

,

 

где n – целое положительное число.

 

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

 

Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

5) Извлечение корня из комплексного числа

 

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

 

 

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

 

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

 

 

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

 

б) Число представим в виде , где

 

Тогда .

 

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

 

Если , то

 

 

Дифференциальное исчисление функции

Одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

у

f(x)

 

 

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

 

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

Уравнение касательной к кривой:

 

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.