Лекции.Орг


Поиск:




Матрицы линейных преобразований




 

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

 

A = a11 + a21 +…+ an1

A = a12 + a22 +…+ an2

……………………………….

A = an1 + an2 +…+ ann

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

 

Если в пространстве L взять вектор = x1 + x2 +…+ xn , то A Î L.

, где

……………………………..

 

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

, А× ,

 

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

 

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

 

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В×А

 

Т.е.

 

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

 

Собственные значения и собственные векторы

Линейного преобразования

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

 

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, …,ln уравнения:

 

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

Для корня l1 = 7:

 

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.

 

Для корня l2 = 1:

 

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

 

 

1) Для l1 = -2:

 

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;

 

 

Собственные векторы:

 

 

2) Для l2 = 3:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;

 

 

Собственные векторы:

 

3) Для l3 = 6:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;

 

Собственные векторы:

 

 

Введение в математический анализ

 

Предел функции в точке

 

y f(x)

 

 

A + e

A

A - e

 

0 a - D a a + D x

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

 

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

 

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-24; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 588 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Либо вы управляете вашим днем, либо день управляет вами. © Джим Рон
==> читать все изречения...

831 - | 696 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.