Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом 
, 
,…, 
задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A = a11 + a21 +…+ an1
A = a12 + a22 +…+ an2
……………………………….
A = an1 + an2 +…+ ann
Тогда матрица А = 
называется матрицей линейного преобразования А.
Если в пространстве L взять вектор 
= x1 + x2 +…+ xn , то A Î L.
, где
……………………………..
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .
В матричном виде:
, А× 
, 
Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:
x¢ = x + y
y¢ = y + z
z¢ = z + x
x¢ = 1×x + 1×y + 0×z
y¢ = 0×x + 1×y + 1×z
z¢ = 1×x + 0×y + 1×z
A = 
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Определение: Если вектор переводится в вектор 
линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор 
линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).
С = В×А
Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .
С = В×А
Т.е. 
Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.
Собственные значения и собственные векторы
Линейного преобразования
Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор 
L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
A 
.
При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .
Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, …,ln уравнения:
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = 
.
Запишем линейное преобразование в виде: 
Составим характеристическое уравнение:
l2 - 8l + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;
Для корня l1 = 7: 
Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.
Для корня l2 = 1: 
Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = 
.
Составим характеристическое уравнение:
(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0
(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0
(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0
4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0
-l3 + 7l2 – 36 = 0
-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0
-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0
(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0
Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;
1) Для l1 = -2: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = 0; x3 = -1;
Собственные векторы: 
2) Для l2 = 3: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = -1; x3 = 1;
Собственные векторы: 
3) Для l3 = 6: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = 2; x3 = 1;
Собственные векторы: 
Введение в математический анализ
Предел функции в точке
y f(x)
A + e
A
A - e
0 a - D a a + D x
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 < ïx - aï < D
верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке: 
