Последовательность 
называется ограниченной снизу, если существует такое число 
, что все члены последовательности удовлетворяют условию 
, т. е.:
Последовательность называется ограниченной сверху, если:
Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность называется ограниченной, если:
это можно записать и так:
Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.
Примеры.
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности)
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказтельство:
Пусть последовательность имеет предел, равный а. По определению предела для 
найдем номер N такой, что при всех 
имеет место неравенство 
. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:
.
Поэтому при всех выполняется неравенство:
.
Положим 
, тогда 
при всех 
, т. е. последовательность ограничена.
Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность 
ограничена, но не является сходящейся.
Замечание: Если условие не выполняется, т. е.
,
то говорят, что последовательность не ограничена.
Пример: Доказать, что последовательность 
является ограниченной, если 
, 
и 
, для всех .
Решение
Так как , то 
. По заданному числу 
в силу определения предела последовательности найдется номер 
такой, что:
.
Используя неравенство для модуля разности
и неравенство , получаем 
, откуда 
. И поэтому для всех 
справедливо неравенство 
.
Пусть C = max 
, для всех выполняется неравенство 
, т. е. – ограниченная последовательность.
8 Основные свойства сходящихся последовательностей.
Свойства сходящихся последовательностей:
Основные свойства сходящихся последовательностей
1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.
4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {хn} и {уn}.
5. Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {уn}
6. Частное двух сходящихся последовательностей {хn} и {уn} при условии, что предел последовательности {уn}отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {хn} и {уn}.
7. Если элементы сходящейся последовательности {хn} удовлетворяют неравенству xn ≥ b (хn ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).
8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.
9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Справедлива следующая теорема (основная теорема теории пределов): если 
то: 
; 
; 
при условии, что b ≠ 0 и 
для всех n.
9 Подпоследовательности и их пределы. Лемма больцано-вейерштрасса.
Подпоследовательности
Определение.
Пусть задана некоторая последовательность { 
} и
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
называется подпоследовательностью последовательности { }.
Пример.
Пусть задана последовательность
Запишем некоторые ее подпоследовательности:
;
;
;
Но последовательность
уже не является подпоследовательностью последовательности 
.
Определение.
Будем писать
и говорить, что последовательность { } стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа 
найдется номер 
, такой что 
при любом 
Аналогично даются определения для случая 
, 
Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства 
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математикаБернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.
Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество 
имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество 
является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, компактно. Для каждой точки 
построим такую окрестность 
, в которой нет других точек из , кроме 
(если бы для какой-то точки такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для ). Тогда семейство 
образует открытое покрытие компактного множества . Пользуясь компактностью , выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества 
. Но это противоречит тому, что множество бесконечно. 
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству .
10 Определение пределов функции по коши и гейне.
Предел функции по Гейне: число 
называется пределом функции 
в точке 
, если для любой последовательности точек 
(принадлежащих 
и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции 
сходится к .
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную 
-окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись 
означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём 
-окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбираетсяпо длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись 
означает, что некоторое значение 
находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности 
(сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: 
(красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: 
, если 
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию 
, которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки ». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
11 Свойства пределов функции.
1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:
2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
4° Константу можно выносить за знак предела:
5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:
12 Замечательные пределы.
