Б) Случай кратных полюсов.

Пусть U₂(p) = M(p)/N(p), имеет n различных полюсов: p₁, р₂,…р_n, причем полюс p₁ повторяется m₁ paз, полюс p₂ – m₂ раз, полюс р_n - m_n раз. Тогда формула разложения имеет следующий вид:

.

В рассматриваемом примере функция выходного напряжения

имеет нулевой и два комплексно-сопряженных полюса

p₀ = 0; p_1,2 =–s ± jw = (–1.818 ± j9.833)10⁴.

Таким образом, оригинал U₇₇(t) следует определять в соответствии с частным случаем простых полюсов

(13)

где M(0) = 1, Q(0) = 1,

.

Следовательно, А = –3.37× 10^-5, B = –0.185.

Учитывая, что А << В, в формуле переходной характеристики (13) членом Acos(wt)можно пренебречь по сравнению с Bsin(wt).

Таким образом, формула переходной характеристики выходного напряжения, по которой будет проведен расчет, имеет вид:

(14)

Расчет и построение переходных характеристик

Расчет переходной характеристики проводят в определенном временном интервале и с определенным шагом изменения времени, которые зависит от вида функции, составляющих переходную характеристику. Для определения интервала и шага нужно проанализировать вид и характер функции.

В рассматриваемом примере переходная характеристика выходного напряжения (14) представлена суммой двух функций:

U₇₇(t)=U₁(t) + U₂(t),

где U₁(t) =1×1(t), B – единичная ступенчатая функция времени;

U₂(t)=–B×exp(–st) sin(wt)×1(t), B – затухающая по экспоненциальному закону гармоническая функция.

Временной интервал 0 ÷ T₁ определяется показателем экспоненты s и принимается примерно равным

T₁ = (4 ÷ 5)/s

К моменту времени t = T₁ можно принять, что exp(–sT₁) = exp(–(4 ÷ 5)) ~ 0

В нашем примере

Шаг изменения времени T₂ можно оценить по периоду T гармонического колебания

T = 2× /w =6.39×10^-5 c = 63.9 мкс.

Если принять 8 точек на период T, то шаг изменения времени T₂ будет равным

 

 

В интервале 0 – 250 мкс с шагом Т₂ = 8 мкс получим 31 значение переходной характеристики.

В таблице 4 приведены результаты расчета переходной характеристики U₇₇(t), проведенного на ЭВМ.

Таблица 4

Время, мкс.	U77(t), В	Время, мкс.	U77 (t), В
	0.1		0.948
	0.773		1.001
	0.723		1.040
	0.832		1.048
	1.001		1.029
	1.127		0.999
	1.154		0.977
	1.094		0.973
	0.999		0.984
	0.928		1.001
	0.914		1.020

На рис. 7 изображена переходная характеристика выходного напряжения.

Выводы

7.1 Анализ частотных характеристик.

 

Анализируя амплитудно-частотную характеристику К_U(jω), можно сделать вывод, что данная цепь является примером режекторного фильтра. Частота режекции (подавления) f₀ соответствует частоте нуля функции K_U(p): f₀ = =½p₀ ½/2π= 15915.5 Гц.

В области низких частот, например, при f = 0 К_U(0) = 1. Это объясняется тем, что входной сигнал проходит только через R1 и R2 и ОУ1, который включен по схеме со 100% отрицательной обратной связью. Сопротивления емкостей |(Z_С(0)| равны бесконечности и не пропускают сигнал. Коэффициент передачи усилителя со 100% отрицательной обратной связью равен 1. Обратная связь (т.е. передача сигнала с выхода фильтра на его вход) через R4, R5 и ОУ2 не работает, т.к. |Z_C3| равно бесконечности.

В области высоких частот при f, стремящейся к бесконечности, сопротивления емкостей малы. Поэтому входной сигнал проходит и через С1, С2, а цепь обратной связи за счет проводимости емкости C3 значительно снижает коэффициент передачи фильтра на частоте режекции.

Полосу режекции (фильтрации) S можно оценить на уровне 0.3·К_max. Она составляет S = 2 кГц.

Коэффициент прямоугольности К_П = S(0.3·K_max)/S(0.7×K_max) АЧХ определяет избирательность фильтра. У идеального режекторного фильтра К_П = 1, у рассматриваемого фильтра он равен К_П = 0.363.

По ФЧХ видно, что на частоте режекции f₀ фаза выходного сигнала изменяется на 180 градусов (с –90 до +90 градусов). Причем, в области f < f₀ выходной сигнал отстает от входного максимум на 90 градусов, а при f > f₀ –опережает.

 

7.2 Анализ переходной характеристики фильтра.

Переходной процесс в фильтре имеет колебательный характер. Выходное напряжение представляет собой сумму двух составляющих. Одна из них –ступенчатая составляющая – вызвана тем, что передний фронт входного ступенчатого сигнала без искажений проходит через емкости С1 и С2 (можно считать, что в момент прохождения фронта t = 0 емкости С1 и C2 представляют собой ветвь с нулевым сопротивлением).

При t >> 0 постоянная составляющая входного сигнала проходит через R1 и R2.

Вторая составлявшая – гармоническая, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени, а частота w определяется мнимой частью полюса функции U₂(р).