Расчет и построение частотных характеристик

Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно определить по полюсно-нулевой карте операторной функции.

В качестве нижней граничной частоты f_н можно принять значение, близкое к величине

где S_min – расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля или полюса) (см. рис. 4).

Это расстояние определяется как модуль особой точки: S =½p₀ ½ или S=½p_*½.

За верхнюю граничную частоту f_в можно взять значение

где S_max – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки (рис. 4).

Рассчитаем граничные частоты для нашего примера.

½p₀ ½=10⁵ рад/c, Следовательно, S_min=½p₀ ½, S_max=½p_*½,

Примем f_Н=5000 Гц, f_В=32000 Гц.

При вычислениях частотных характеристик используют циклическую частоту f [Гц], а фазовый угол измеряют в градусах φ [град], как это принято в технике. Число значений частот следует брать 10 – 20 на график с неравномерным шагом. Вблизи экстремумов функции шаг изменения частоты уменьшают. В точках экстремумов, т.е. при частотах S_i, равных модулю особой точке (нулям и полюсам) f=(S_i, S₂,…S_j)/(2 ) обязательно вычисляют модуль и аргумент функции.

Проведем предварительный расчет. Зададим 10 точек на декаду изменения частоты. В таблице 2 приведены результаты расчета K_U(f) и φ(f), проведенного на ЭВМ по программе “CHAST.BAS” (см. Приложение 3. Пакет контролирующих и вычислительных программ для курсовой работы по ОТЦ).

Таблица 2

Частота f, Гц	Модуль КU (f)	Фазовый угол φ(f), град
	0.99	-7.2
	0.98	-9.7
	0.97	-13.5
	0.94	-20.6
	0.80	-37.2
	0.036	-87.9
	0.78	38.9
	0.93	21.2
	0.97	13.8

 

Из таблицы видно, что функция K_U(f) имеет резкий минимум вблизи частоты, определяемой нулем и полюсом р₀≈p_*: f₀=½p₀ ½/(2 ) = 15915 Гц. Поэтому необходимо провести повторный расчет характеристик, ограничив диапазон частот в области квазирезонансной частоты f₀ и увеличив число точек на декаду. В таблице 3 приведены результаты последующего расчета.

Таблица 3

Частота f, Гц	Модуль КU (f)	Фазовый угол φ(f), град
	0.46	–62.84
	0.34	–70.2
	0.25	–75.5
	0.16	–81.0
	0.056	–85.8
	0.057	–89.7
	0.095	84.5
	0.14	81.7
	0.24	76.0
	0.33	70.7
	0.40	66.3

 

Перед построением частотных характеристик нужно выбрать тип масштаба по осям графика – линейный, полулогарифмический или логарифмический. Для этого целесообразно придерживаться принятым в технике рекомендациям.

Если диапазоны изменения частоты по оси абсцисс и функции (коэффициент передачи) по оси ординат составляют два и более порядков, то пользуются логарифмическим масштабом по двум осям. Если диапазон изменения одной величины (частоты или функции) не больше двух порядков, то пользуются полулогарифмическим масштабом (по одной оси линейный масштаб). Если диапазоны частоты и функции не превышают двух порядков, то график изображают в линейном масштабе.

В Приложении 1 в качестве примера показаны частотные характеристики фильтра, построенные в линейном, полулогарифмическом и логарифмическом масштабах.

В нашем примере частоты f_н и f_в отличаются в 6 раз, т.е. менее одного порядка. Коэффициент передачи K_U(f) изменяется примерно в десять раз (от 0.1 до 1.0). Поэтому частотные характеристики целесообразно строить не в логарифмическом масштабе, а в линейном.

На рис.5 а), б) приведены частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ) коэффициента передачи по напряжению, построенные по результатам расчетов в линейном масштабе.

Для построения амплитудно–фазовой характеристики (АФХ или частотного годографа) целесообразно воспользоваться не показательной формой комплексного параметра K_U(jf)=K(ω)ехр(jφ(f)),а алгебраической К_U(jf)=A(f)+jB(f)=K(f)cosφ(f) + j K(f)sinφ(f). В связи с этим нужно составить таблицу данных для построения AФХ, в которую нужно внести характерные точки частотных характеристик.

Таблица данных для построения АФХ

Частота f, Гц	A(f)	B(f)

На рис. 6 изображен годограф K_U(jf).