При самостоятельном изучении дисциплины вначале нужно ознакомиться с ее программой. Изучить материал, изложенный в рекомендуемой литературе. При этом следует составить краткий конспект из основных положений, разобрать примеры, приведенные в учебниках.
Если при самостоятельном изучении возникнут трудности, обратиться за консультацией к преподавателю.
После усвоения учебного материала выполняется контрольная работа.
Программа курса
«Линейная алгебра»
1. Матрицы
Матрицы. Действия над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого - либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка. Ранг матрицы. Собственные значения матриц. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.
Вопросы для самоконтроля
- Дать определение матрицы. Виды матриц.
- Элементарные преобразования матриц.
- Действия над матрицами: сложение и вычитание, умножение матрицы на число, произведение двух матриц, возведение матрицы в степень, транспонирование матрицы.
- Дать определение определителя и написать основные свойства определителей.
- Дать определения минора и алгебраического дополнения матрицы.
- Записать разложение определителя по элементам какого - либо ряда.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы.
- Собственные значения матриц.
2. Системы линейных уравнений
Основные понятия и определения системы линейных уравнений. Системы n линейных уравнений с n переменными. Матричная запись системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса. Системы m линейных уравнений с n переменными. Система линейных однородных уравнений.
Вопросы для самоконтроля
- Дать определение системы линейных уравнений.
- Что называется решением системы линейных уравнений.
- Написать формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
- Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
- Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.
- Системы m линейных уравнений с n переменными. теорема Кронекера – Капели.
- Дать определение однородной системы линейных уравнений.
- Необходимое и достаточное условие того, что система однородных уравнений имеет ненулевое решение.
Элементы матричного анализа.
Векторы на плоскости и в пространстве. n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.
Вопросы для самоконтроля
- Определение вектора на плоскости и в пространстве.
- Координаты вектора.
- Дать определение коллинеарных и равных векторов.
- Линейные операции над векторами: сложение и вычитание двух векторов, умножение вектора на скаляр.
- Скалярное произведение двух векторов.
- Угол между векторами. Условие коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.
- Дать определение n-мерного вектора. Линейные операции над n-мерными векторами.
- Дать определение векторного пространства.
- Дать определение линейно независимых векторов.
- Дать определение n-мерного векторного пространства.
- Дать определение базиса n-мерного векторного пространства.
- Теорема о представлении вектора через базис.
- Переход к новому базису.
- Дать определение линейного оператора.
- Действия над линейными операторами.
16. Дать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.
- Дать определение квадратичной формы.
4. Элементы аналитической геометрии
Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).
Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. системы линейных неравенств.
Уравнение прямой и плоскости в пространстве.
Вопросы для самоконтроля
- Дать определение системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
- Записать формулу расстояния между двумя точками.
- Записать формулы для нахождения координат середины отрезка.
- Дать определение уравнения линии на плоскости.
5. Записать различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой в отрезках; общее уравнение прямой. Пояснить смысл коэффициентов.
- Записать условие параллельности прямых.
- Записать условие перпендикулярности прямых.
- Записать формулу расстояния от точки до прямой.
- Система линейных неравенств на плоскости.
- Записать и пояснить уравнение плоскости.
- Уравнение прямой в пространстве.
- Взаимное расположение прямых в пространстве.
- Расстояние между прямыми в пространстве.
- Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- Расстояние между плоскостями.
- Расстояние от точки до плоскости.
5. Основы оптимального программирования
Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Целочисленное программирование.
Вопросы для самоконтроля
- Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП).
- Дать определение допустимого решения задачи ЛП и области допустимых решений (ОДР).
- Виды математических моделей.
- Алгоритм графического метода решения задач ЛП.
- Алгоритм симплексного метода.
6. Общая формулировка задачи целочисленного программирования.
- Метод Гомори.
