Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные определени€ и обозначени€




ќпределение конечного предела функции в точке: число ј называетс€ пределом функции при если дл€ любого найдетс€ такое, что при 0 <

ќбозначение: или при

‘ункци€ называетс€ бесконечно малой (бесконечно большой) при если

ƒве бесконечно малые (бесконечно большие) функции и при называютс€ эквивалентными, если

ќбозначение:

ѕредел отношени€ бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменитс€, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

(10.1)

если

ќтметим, что ( - константа)

Ќаиболее простым способом вычислени€ пределов €вл€етс€ непосредственна€ подстановка вместо х числа а. ѕри этом может получитс€ какое-либо число, которое и €вл€етс€ пределом. Ќапример

.

¬торой также несложный случай возникает, если при такой непосредственной подстановке одна из составл€ющих имеет предел равный ¥ и получаютс€ следующие варианты (и их решение): /¥ = 0, /0 = ¥, ¥/0 = ¥, , . Ќапример

.

¬ остальных случа€х возникают так называемые неопределенности. ѕо поведению функций пределы дел€тс€ на неопределенности вида: , Ёлементарными приемами раскрыти€ неопределенностей €вл€ютс€:

а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

б) деление числител€ и знаменател€ на старшую степень аргумента (дл€ отношени€ многочленов при );

в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

г) использование двух замечательных пределов:

(10.2)

 

10.2. Ќеопределенности вида 0/0

а) –ациональные выражени€. ¬ случае неопределенности 0/0 дл€ рациональных выражений всегда примен€етс€ прием сокращени€ множител€, обращающегос€ в ноль. ƒл€ этого предварительно выдел€етс€ линейный множитель, который обращаетс€ в ноль. ƒл€ выделени€ линейного множител€ наход€т корни квадратного трехчлена и разлагают его на множители.

ѕример. Ќайти предел

Ќаходим корни числител€ х2 - х - 6: х 1 = 3, х 2 = -2.–азлагаем его на множители х2 - х - 6 = (х Ц 3)(х + 2). “о же самое проделываем и дл€ знаменател€: х 1 = 3, х 2 = -7/2, 2х2 + х - 21 = 2(х Ц 3)(х + 7/2) =

= (х Ц 3)(2 х + 7). ѕодставим эти разложени€ в предел и сокращаем множители, обращающиес€ в ноль:

 

б) »ррациональные выражени€. ѕределы вычисл€ютс€ также сокращением множител€, обращающегос€ в предельной точке в ноль. ѕравда предварительно дл€ этого иррациональное выражение домножают и дел€т на сопр€женное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a ± b), то его домножают и дел€т на (a b).

 

ѕример. Ќайти предел

ƒомножим числитель и знаменатель на выражение , одновременно разлага€ знаменатель на множители:

 

в) ¬ыражени€, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. ¬ычисление пределов в этом случае, как правило, проводитс€ по следующим трем методикам:

1) использование первого замечательного предела

или эквивалентности:

sin a(x) ~ a(x) при a(x) Ѓ 0 (x Ѓ x 0);

 

2) использование формул тригонометрии;

3) применение замены дл€ сведени€ к первому замечательному преде-лу.

ѕримеры.

 

а) Ќайти предел

¬оспользуемс€ приведенными эквивалентност€ми:

 

sin 5 x ~ 5 x, sin 2 x ~ 2 x при x Ѓ 0.

“огда

б) Ќайти предел

 

ѕо формулам тригонометрии (1 - cos x = 2 sin2 (x/ 2)) с учетом эквивалентности имеем

 

в) Ќайти предел

 

ƒл€ сведени€ к первому замечательному пределу сделаем две замены:

у = 1 , z = arcsin y:

 

г) Ќайти предел

 

—делаем замену переменной: у = х + 2. “огда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)

 

г) ¬ыражени€, содержащие логарифмические и показательные функции. ќсновными приемами вычислени€ пределов в этом случае €вл€ютс€:

1) использование эквивалентностей

ln(1 + a(x)) ~ a(x), a a (x) - 1 ~ a(x)ln a при a(х) Ѓ 0;

2) замена переменной дл€ сведени€ к приведенным эквивалентност€м.

 

ѕримеры.

 

а) Ќайти предел

 

 

 

б) Ќайти предел

=

 

 

10.3. Ќеопределенности вида ¥/¥

 

ќсновными примерами этой неопределенности €вл€ютс€ рациональные функции, когда аргумент стремитс€ к бесконечности. –ешаютс€ они вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. ѕри вычислении окончательного результата посто€нно используетс€ равенство /¥ = 0 (C -константа).

 

ѕример. Ќайти предел

 

¬ыносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:

 

 

 

10.4. Ќеопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 00, ¥0, 1¥

ѕервые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований свод€тс€ к рассмотренным ранее случа€м. ќсобый интерес представл€ет последн€€ неопределенность. ƒл€ вычислени€ пределов с неопределенностью 1¥ очень удобна следующа€ формула:

 

 

ѕримеры.

 

а) Ќайти предел

 

б) Ќайти предел

 

ѕри вычислении подобных примеров наибольшую опасность представл€ет путаница, возникающа€ в св€зи с тем, что к определенным выражени€м (типа (2/3)¥ = 0) примен€ют формулу, как дл€ неопределенности вида 1¥. Ќапример

 

или

 

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-23; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 337 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

844 - | 627 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.016 с.