Определение и свойства
Пусть даны два вектора 
и 
.Тогда их скалярное произведение определяется из равенства 
, где j - угол между этими векторами.
Если векторы заданы в координатной форме 
, 
, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
а) 
;
б) если ^ (ортогональные вектора), то 
= 0;
в) 
;
г) 
;
д) 
, где λ- любое число.
Примеры.
а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).
Из определения имеем = 
.
б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?
Из условий ортогональности имеем: = 4 m + 3 m -28 = 0,
7 m = 28, m = 4.
в) Найти 
, если 
и ^ .
Из свойств скалярного произведения имеем: 
,
т.к. ^ , тогда
г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).
Так как 
Из координатного представления векторов находим 
0+8-6=2,
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Определение векторного произведения
Если вектора и заданы в координатной форме 
то их векторное произведение определяется по формуле:
,
где 
-орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:
Пример. Найдем векторное произведение векторов 
.
Из приведенной формулы имеем
Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения:
а) 
;
б) 
, т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;
в) 
;
г) 
, если либо = 
, либо = , либо вектора и коллинеарны;
д) 
, где λ –любое число;
е) 
.
Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.
Примеры.
а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
= (3, 6, -2) и = (-2, 3, 6).
Имеем
Тогда 
б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 1), В (2, 3, 4), С (4, 3, 2).
На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда 
Так как 
то
Следовательно, 
, а 
в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
+ 3 и 3 + , если 
а угол между векторами и
равен p/6.
Заметим, что 
для любого вектора. Следовательно, 
Итак, искомая площадь параллелограмма S =4.
г) Известно, что вектор 
ортогонален векторам = (3, 2, 1) и
= (2, 3, 1), а | | = 3. Найти вектор .
Так как вектор ортогонален векторам и, то он коллинеарен вектору 
. Имеем
Таким образом, 
Следовательно, 
, 
Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи: 
же удовлетворяет условию 
(1, -7, 2)=10.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение и свойства
Смешанным произведением трех векторов
называется число 
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) 
, если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б) 
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах 
и , равен 
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2, 2, 2),
В (4, 3, 3), С (4, 5, 4), D (5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в) Вычислим 
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений получаем
г) По координатам вершин пирамиды 
найти: 1) длины ребер 
и 
2) угол между ребрами и 3) площадь грани 
4) объем пирамиды 
Находим векторы 
и 
Длины векторов, т.е. длины ребер и 
, таковы:
Скалярное произведение векторов и 
равно
а косинус угла между ними:
Отсюда следует, что 
- тупой угол, равный 
(рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами и 
Площадь грани 
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
Следовательно, 
Объем 
пирамиды равен 
объема параллелепипеда, построенного на векторах , , 
. Вектор 
Итак,
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
