Дана система m уравнений с n неизвестными
. (3.1)
Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (a1, a2,..., a n), которая при подстановке в систему вместо совокупности неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной..
Матрицы
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей
системы (3.1).
Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы аii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А 1 так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, аii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i -й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:
Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а 11, а 22, а 34, а 45, а 56,...).
Примеры.
а) Проверим совместность системы
Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования над строками:
Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.
б) Исследуем на совместность систему
Записав расширенную матрицу системы, с помощью элементарных преобразований получаем
Таким образом, данная система несовместна.
Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчато-диагональных элементах.
Примеры.
а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему
.
Уравнений два, поэтому считаем х 1 и х 2 (стоящие при ступенчато-диаго-нальных элементах) основными, а х 3 и х 4 свободными. Находим из системы основные неизвестные через свободные:
,
.
Таким образом, общее решение системы имеет вид:
б) Решим систему
Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее
Выбираем в качестве основных переменные х 1 и х 3, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х 2 берется свободной. Итак,
и общее решение системы
