Логическая корректность рассуждения 4 страница

3. Если В = (С v D) и Be сп[а), то Се сп[а) или DeCn[A).

4. Если В = ЗхС(х,у1,...,уп) и Be сп[а], то

С(у,у1,...,уп)е сп[а]для новой свободной предмет­ной переменной у, yt встречающейся в списке Сп[А].

5. Если В = VxC(x,y1,...,yn) и ВбСп[д], то

С(у,У1,.--,Уп)<= сп[а)для каждой свободной предмет­ной переменной у, встречающейся в списке Сп[А[.

Определение 5.12. Модельной МК[А]-конструкци-ей для формулы А называется множество альтерна­тивных списков формул iCn[AJ1,...,Cn[A]nji постро­енных по правилам определения 5.11.

Определение 5.13. Список Сп[А] называется зам­кнутым, если он содержит формулу В такую, что

ВеСп[д]и -|ВеСп[А]. Модельная конструкция на­зывается замкнутой, если замкнут каждый принадле­жащий ей список формул из {Сп^]^.

Определение 5.14. МК-моделью для формулы А называется любой незамкнутый список формул Сп[А].

Определение 5.15. Формула А называется МК-ис-тинной, если и только если она имеет МК-модель, определенную на МК[А]-конструкции.

Определение 5.16. Формула А называется логи­чески истинной в классической логике предикатов, если и только если ее контрдуал, то есть негатив­но-нормальная форма формула —iA, не является МК-истинным ни на одной из МК-моделей. Обозна­чается: h=A.

Теорема 5.3. l=A на модельной структуре М = (U, f) если и только если (==А на модельной конструкции МК [А].

Теорема приводится без доказательства.

С логической точки зрения метод модельных струк­тур и метод модельных конструкций равносильны по своим результатам. В соответствии с теоремой 5.3 они приводят к одному и тому же множеству логических формул, которые считаются логически истинными. Но каждый из этих методов опирается на отличающиеся друг от друга концепции истинности. Как уже было сказано, метод модельных структур основывается на классической или корреспондентской концепции, в соответствии с которой быть истинным, значит соот­ветствовать действительности.

В МК[А]-конструкции реализуется концепция ко­герентности истины. В соответствии с когерентной концепцией истины высказывание является истин­ным, если оно совместимо с множеством других выс­казываний и может быть включено в данное множе­ство без противоречия. Безусловно, в модельные струк­туры и модельные конструкции вкладывается различный философский смысл относительно поня­тия истинности. Модельные структуры определяют семантическую категорию истинности как отношения между языком и реальностью. В модельных конст­рукциях категория истинности устанавливает отно­шения между лингвистическими объектами: форму­лой и списком формул. В модельных структурах ос­новными семантическими понятиями являются понятия предметного универсума и определенного на нем множества предикатов, то есть, в целом, — поня­тие состояния объекта. В модельных конструкциях

таким основным понятием является понятие спис­ка формул, а также множества атомарных подформул списка, образующих описание состояния.

Пример 1. Доказать методом модельных конст­рукций логическую истинность формулы

Зх(А(х)л В(х)) -> (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). Доказательство. Приведем данную формулу в негативно-нормальную форму методом эквивалент­ных преобразований.

1. А = эх(а(х) л В(х)) -> (ЭхА(х) л ЭхВ(х)).

2. -,Зх(А(х) л b(x)) v (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). КЛВ

3- А° = Vx(-nA(x) v -.В(х)) v (ЭхА(х) л ЗхВ(х)), %>у(,

где А° — негативно-нормальная формула для А. 4. Контр. А[А] = Эх(А(х)лВ(х))л(Ух-,А(х)уУх-,В(х)), где Контр. А[А] — контрдуал для формулы А°.

Модельная конструкция контрдуала для форму­лы А° строится в соответствии с правилами 1—5 оп­ределения 5.11.

1. Контр. А[А] (1)

2. Зх(А(х)дВ(х)) (2)

3. Vx-,A(x) v Vx-,B(x) (2)

4. (А(у)лВ(у)) (4)
5- А(у) (2)
6. В(у) (2)
7.1. Vx-,A(x) 7.2. Vx^B(x) (3)
8.1. ^А(у) 8.2 ^в(у) (5)
(5-8.1)— противоречие; (6-8.2) — противоречие.

Следовательно, по определениям 5.12—5.16:

Пример 2. Проверить логическую корректность следующего силлогизма методом модельных кон­струкций.

Только философы эгоисты.

Нет циника, который не был бы эгоистом.

Следовательно, все циники — философы.

Решение. Данный силлогизм имеет следующий перевод на формальный язык (см. пример к упр. 5.1) Vx(a(x) -» Ф(х)), -Вх(ц(х) л -.Э(х)) => Vx(li;(x) -» Ф(х)).

Данный перевод силлогизма на формальный язык имеет следующую негативно-нормальную форму (см. пример к упр. 5.2.)

Vx(-O(x) v Ф(х))л Ух(-Щ(х)л Э(х))л Зх(ц(х) v -пФ(х)). Построим модельную конструкцию для контрду-ала формулы А в негативно-нормальной форме, ис­пользуя условия 1-5 определения 5.11.

1.	Vx(-,afx)v Ф(х))л Ух(-^ц(х)л Э(х))л Эх(ц(х) v -,ф(х))	(1)
2.	Ух(-тЭ(х)уф(х))	(2)
3.	Ух(-,Ц(х)лЭ(х))	(2)
4.	Эх(ц(хК-,ф(х))	(2)
5.	ц(у)у-,ф(у)	(4)
6.	-,ц(у)лЭ(у)	(5)
7.	-,Ц(у)	(2)
8.	э(у)	(2)
9.1.	ц(у) 9-2- ->ф(у)	(3)
	7-9.1 -® Ю.2. -,э(ууф(у))	(5)
	11.2.1. _,э(у) 11.2.2. ф(у)	(3)

8-11.2.1 — ® 9.2-11.2.2 —<

Модельная конструкция для контрдуала замкну­лась. Следовательно, силлогизм логически корректен.

Упражнения

5.8. Проверьте логическую корректность силло­гизмов, приведенных в упр. 5Л, методом мо­дельных конструкций.

5.9. Докажите логическую истинность формул упр. 5.6 методом модельных конструкций.

5.10. Опровергните логическую истинность формул упр. 5.7 методом модельных конструкций.

5.3. Теория доказательств классической логики предикатов

Теоретическую логику иногда называют фор­мальной к огромному неудовольствию большин­ства исследователей в области логической науки и ее истинных почитателей. Такая неудовлетво­ренность в терминологии вызвана прежде всего тем, что под термин «формальная логика», пред­намеренно или по незнанию, подводят всю совре­менную структуру логики в целом, отказывая ей в какой-либо содержательной значимости. Одна­ко это, конечно, не так. Теория моделей класси­ческой логики предикатов — образца современной логической теории — обнаруживает глубинный содержательный смысл, заложенный в такие семан-

тические категории, как понятие модели или ис­тинности. Содержательные аспекты логического исследования были подробно рассмотрены и изу­чены в предшествующем разделе.

И все же профессиональный исследователь в об­ласти логического познания, изгоняя крамолу допу­щения некоторой «содержательной логики», отлич­ной от изучаемой и развиваемой им, всегда готов признать, что значительная часть теоретической ло­гики занимается исключительно формальными про­блемами, никак не связанными непосредственно с изучением и моделированием реальности. Эта часть логики называется теорией доказательств, в которой анализируются проблемы эффективной и регуляр­ной выводимости одних логических структур из дру­гих, не заботясь о том, какие содержательные интер­претации могли бы быть для них подходящими.

Теория доказательств, в первом приближении, ис­следует логические правила образования формальных структур, то есть формализованного языка теории, а также правила преобразования этих структур в дру­гие формальные структуры. Последние являются ло­гическими правилами вывода и доказательства. В разделе 4.2, относящемся к классической логике выс­казываний, уже затрагивались эти вопросы в рамках изучения дедуктивной теории натурального вывода.

В этом разделе будут сформулированы некото­рые вводные положения и замечания, связанные с рассмотрением аксиоматического метода в теории доказательств классической логики предикатов. Ак­сиоматический метод является древнейшим в логи­ческих исследованиях и методологии научного по­знания. Еще два с половиной тысячелетия назад ак­сиоматический метод стал образцом систематизации

научного знания и основным ответом на вопрос о принципах его построения.

Аксиоматический способ построения научной те­ории основывается существенным образом на раз­личении ее исходных и производных элементов. Ис­ходные утверждения теории, не анализируемые в ней содержательно, обычно называют аксиомами или постулатами. Исходные понятия теории — это ее кон­цептуальные допущения, взятые без определений. Из аксиом и постулатов теории в процессе доказатель­ства выводится по логическим правилам вывода си­стема дедуктивно-замкнутых утверждений — теорем теории. Из концептуальных допущений, принятых в теории, по определениям и дефинициям задаются новые, производные понятия, связанные дефиници-ально с исходными и образующие вместе с ними еди­ную концептуальную структуру.

Теория доказательств классической логики пре­дикатов в аксиоматической форме может быть пред­ставлена следующим образом.

Аксиомы КЛП-исчисления

АО Все тезисы классической логики высказываний (КЛВ).

А1 Р(у)->ЗхР(х) А2 VxP(x)->P(y)

Логические правила вывода в КЛП-исчислении

П1 Если I—А —В и h-A,TO I—В.

П2 Если А содержит переменные р.,,..., рп, а В

получается из А подстановкой в А формул

С.,,..., Сп вместо pv..., рп соответственно, то

I—А влечет I— В. ПЗ Если С есть подформула формулы А, Д есть

подформула формулы В, а В получается из А

заменой С на Д, то из С <-> Д следует, что

А<->В. П4 Если В ->А(х) и формула В не содержит

переменной х, то (— • В-» ухА(х). П5 Если i — А(х) -» В и формула В не содержит переменной х, то \— ЗхА(х) -» В.

Определение 5.17. Доказательством в КЛП-ис-числении называется последовательность формул КПП-языка, каждая из которых является либо одной из аксиом АО-А2, либо формулой, полученной из предшествующих в последовательности по одному из правил вывода П1-П5. Конечная формула последо­вательности доказательства называется доказуемой формулой КПП-исчисления или КЛП-тезисом. Обозна­чается: (—А.

Следующие утверждения являются тезисами КЛП-исчисления.

Tl. VxP(x) -» -,Зх-,Р(х)

1. VxP(x)-> Р(у)

2. -,Р(у) -> -,VxP(x)

3. 3x-rP(x) -> -,VxP(x)

4. VxP(x) -+ -ax-nP(x)

Т2. -,Vx-iP(x) -^ ЗхР(х)

1. Р(у)-> ЗхР(х)

2. -1ЗхР(х) -+ -,Р(у)

3. -,ЗхР(х)-> Vx-,P(x) 4- -,Vx-,P(x) -> 3xP(x)

А2

Из (1) по КЛВ Из (2) по П5 Из (3) по КЛВ

А1

Из (1) по КЛВ Из (2) по

по КЛВ

ТЗ. (VxP(x)v VxQ(x))-> Vx(p(x) v q(x))

1. VxP(x)->P(y) A2

2. VxQ(x)-»Q(y) A2

3. (VxP(x) v VxQ(x)) -» (P(y) v Q(y)) Из (1), (2) no

КЛВ

4. (VxP(x) v VxQ(x)) -> Vx(p(x) v q(x)) Из (З) по П4

T4. Зх(Р(х) л Q(x)) -» (ЗхР(х) л 3xQ(x))

1- P(y)->3xP(x) Al

2- Q(y)->3xQ(x) Al

3. p(y)AQ(y)-»(3xP(x)A3xQ(x)) Из (1), (2) no

KJIB 4- 3x(p(x)AQ(x))^(3xP(x)A3xQ(x)) Из (3) по П5

Упражнение

5.11. Докажите, что все формулы упр. 5.6 явля­ются КЛП-тезисами.

ГЛАВА 6