Сравнение двух выборок по количественно определенному признаку

Критерий Фишера с равным успехом может использоваться и при сравнении распределений количественных признаков.

Задача 8.15. Будет ли уровень тревожности у подростков-сирот более высоким, чем у их сверстников из полных семей? Для решения этой задачи психолог проводил анализ выраженности уровня тревожности в группе сирот и в группе детей из полных семей при помощи опросника Тейлора. 40 баллов и выше рассматривались как показатель очень высокого уровня тревоги (

Решение. В первой группе из 10 человек очень высокий уровень тревожности наблюдался у 7 испытуемых (70%), во второй группе из 13 человек он был обнаружен у 3 испытуемых (23,1%). Проверим, можно ли считать подобные различия статистически значимыми?

По таблице 14 Приложения 1 определяем величины и для первой и второй группы:

=1,982 для 70% и = 1,003 для 23,1%.

Подсчитываем по формуле (8.14):

Напомним, что критические величины для этого критерия таковы:

Полученная величина превышает соответствующее кри­тическое значение для уровня в 1%, следовательно, различия между группами значимы на 1% уровне. Иными словами в первой группе измеряемый признак выражен в существенно большей степени, чем во второй.

Т.е. подростки сироты более тревожны, чем дети из полных семей. Обратите внимание, что для получения подобного вывода понадобилась очень малая выборка испытуемых.

В терминах статистических гипотез можно утверждать, что нулевая гипотеза Н₀ отклоняется и на высоком уровне значимости принимается гипотеза Н ₁ о различиях.

Как уже говорилось ранее, критерии носят название «параметрические», потому что в формулу их расчета включаются такие параметры выборки, как среднее, дисперсия и др. Как правило, в психологических исследованиях чаще всего применяются два параметрических крите­рия — это t- критерий Стьюдента, который оценивает различия средних для двух выборок и F - критерий Фишера, оценивающий различия между двумя дисперсиями.

Критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних и двух выборок и , которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета по t -критерию Стьюдента такова:

где

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае п ₁ = п ₂ =п, тогда выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

В случае не равночисленных выборок п ₁ ≠ п ₂, выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

где п ₁и п ₂ соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k= 2 · п – 2.

Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Задача 9.1. Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Решение. Результаты эксперимента представим в виде таблицы 9.1, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Средние арифметические составляют в экспериментальной

группе , в контрольной группе .

Разница по абсолютной величине между средними

.

Подсчет выражения 9.4 дает:

Тогда значение t_эмп, вычисляемое по формуле (9.1), таково:

Число степеней свободы k = 9 + 8-2= 15. По таблице 16 Приложения 1 для данного числа степеней свободы находим:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза Н₀ о сходстве отклоняется и на уровне значимости 0,1% принимается альтернативная гипотеза Н ₁ - о различии между экспериментальной и контрольными группами.

Случай связных выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t -критерия Стьюдента.

Вычисление значения t_эмп осуществляется по формуле:

где

где - разности между соответствующими значениями переменной X ипеременной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь Sd вычисляется по следующей формуле:

Число степеней свободы к определяется по формуле k = n - 1. Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для связных, равных по численности выборок.

Задача 9.2. Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т.е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач.

Решение. Решение задачи представим в виде таблицы 9.2:

Вначале произведем расчет по формуле (9.7):

Затем применим формулу (9.8), получим:

И, наконец, следует применить формулу (9.6). Получим:

Число степеней свободы: k = 8 – 1 = 7 и по таблице 16 Приложения 1 находим t_кр:

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уровне гипотеза Н ₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ — о различиях.

Для применения t -критерия Стъюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления F_эмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:

Где

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение F_эмп всегда будет больше или равно единице, т.е. F_эмп ≥ 1. Чис­ло степеней свободы определяется также просто: df₁ = п 1 - 1 для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и df₂ = п 2 - 1 для второй выборки. В таблице 17 Приложения 1 критические значения критерия Фишера F_кp находятся по величинам df_x (верхняя строчка таблицы) и df₂ (левый столбец таблицы).

Задача 9.3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос – есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах. Результаты тестирования представлены в таблице:

Как видно из таблицы 9.3, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 ≈ 63,6 и величина t -критерия Стьюдента оказалась равной 0,347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

Тогда по формуле (9.9) для расчета по F критерию Фишера

находим:

По таблице 17 Приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях равных df = 10 - 1 = 9 находим F_кр.

Таким образом, полученная величина F_эмп попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н_о (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н_1. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону