Сравнение двух экспериментальных распределений

На практике значительно чаще встречаются задачи, в которых необходимо сравнивать не теоретическое распределение с эмпирическим, а два и более эмпирических распределения между собой. Ниже будут рассмотрены типичные варианты задач, предусматривающих сравнение экспериментальных распределений (данных) и способы их решения с использованием критерия хи -квадрат.

В этих задачах с помощью критерия хи -квадрат проводится оценка однородности двух и более независимых выборок и таким образом проверяется гипотеза об отсутствии различий между двумя и более эмпирическими (экспериментальными) распределениями.

Исходные данные двух эмпирических распределений для сравнения между собой могут быть представлены разными способами. Наиболее простой из этих способов: так называемая «че­тырехпольная таблица». Она используется в тех случаях, когда в первой выборке имеются два значения (числа) и во второй выборке также два значения (числа). Критерий хи -квадрат позволяет также сравнивать между собой три, четыре и большее число эмпирических величин. Для расчетов во всех этих случаях используются различные модификации формулы , что позволяет существенно облегчить процесс вычисления.

Начнем изучение сравнения двух эмпирических распределений с самого простого случая – использования четырехпольной таблицы.

Задача 4. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека и во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?

Решение. Условия задачи можно представить в виде четырехпольной таблицы 8.6 ячейки которой, обозначаются обычно как А, В, С и D:

Таблица 5.

	Школа 1	Школа 2
Число поступивших в вуз	А 82	В 44
Число не поступивших в вуз	С 18	D 43
Сумма

 

Согласно данным, представленным в таблице 5, в нашем случае имеется четыре эмпирические частоты, это соответствен­но 82, 44, 18 и 43. Для того чтобы можно было использовать формулу , необходимо для каждой из этих эмпирических ча­стот найти соответственные «теоретические» частоты.

Из таблицы 5 следует, что 18 и 43 человека из первой и второй школ соответственно не поступили в вуз. Относительно этих величин подсчитывается величина Р. Это так называемая доля признака, или частота. В данном случае признаком явилось то, что выпускники не поступили в вуз. Величина Р подсчитывается по формуле (8.5) следующим образом:

.

Величина Р позволяет рассчитать «теоретические» частоты для третьей строчки таблицы 8.6, которые обозначим как и .

Эти частоты показывают, сколько учащихся из первой и второй школ не должны были поступить в вуз. Они подсчитывается сле­дующим образом:

для первой школы

для второй школы

 

Иными словами, из первой школы не должны были поступить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи -квадрат желательно не округлять ре­зультаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные значения после запятой). Исходя из вновь полученных «теоретических» частот – 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ. Обозначим эти частоты как для первой и для второй школ, получим соответственно:

для первой школы 100 - 33 == 67

для второй школы 87 - 28,71 = 58,29

Перепишем полученные «теоретические» частоты в новую таблицу 6.

Таблица 6.

 

	Школа 1	Школа 2
Число учащихся, которые должны были бы поступить в вуз	А =67	В =58,29
Число учащихся, которые не должны были бы поступить в вуз	С =33	D =28,71
Сумма

 

Вычислим , из величин табл. 5 вычитаются величины табл. 6:

В данном случае число степеней свободы v = (k -1)•(с-1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, v = (2–1)•(2–1)=1, поскольку у нас 2 строки и два столбца. И в соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученная величина попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н ₁, о наличии различий меж­ду двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уро­вень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных мы можем теперь утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе суще­ственно выше, чем во второй. Без использования критерия хи- квадрат такого вывода мы сделать бы не могли.

Решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.

Задача 5. В двух школах района выяснялась успешность зна­ния алгебры учащимися десятых классов. Для это­го в обеих школах были случайным образом ото­браны 50 учащихся и с ними проведены конт­рольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде таблицы:

 

В таблице 7 О ₁₁— число учащихся первой школы, получив­ших оценку 2 в контрольной работе по алгебре, О ₁₂ — число уча­щихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной ра­боте по алгебре, О ₁₃ — число учащихся первой школы, получив­ших оценку 4 в контрольной работе по алгебре и т.д.

Подчеркнем, что «визуальный» анализ данных таблицы 7 показывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза больше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи -квадрат осуществляется по формуле:

.

Подставим данные нашего примера в формулу, получим:

Число степеней свободы в данном случае равно v = (k -1)• (с -1) = (2 - 1) • (4 - 1) = 3. По таблице 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону незначимости. Иными словами следует принять нулевую гипотезу о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных шко­лах статистически значимо не отличается между собой. Выше, при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако, критерий хи -квадрат показал, что это далеко не так.

 

Замечание. Число переменных в сравниваемых выборках может быть достаточно большим. В этом случае целесообразно использовать специальный прием группировки значений по интервалам. Число интервалов удобнее всего получать, используя таблицу 8.

Таблица 8.

Число значений переменной (от – до)	Число интервалов
25 - 40	5 - 6
40 – 60	6 – 8
60 – 100	7 – 10
100 - 200	8 – 12
	10 -15

 

 

Рассмотрим задачу, в которой сравниваются две выборки, и в которых значений переменных столь много, что предыдущие способы сравнения оказываются трудновыполнимыми.

Задача 6. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос: различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные в виде таблицы 8.12, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (8.8):

Где f ₁ частоты первого распределения, а f ₂ — частоты второго. N — число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.

Произведем расчет по формуле (8.8), основываясь на результатах таблицы 8.12:

В данном случае число степеней свободы v = (k - 1 ) ·(с -1 ) = (9 - 1) · (2 - 1) = 8, где k - число интервалов разбиения, а с- чис­ло столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону неопределенности. Пси­холог может, как принять, так и отклонить гипотезу .

Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае используют другую формулу расчета.

Задача 7. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуемых. Вопрос - различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные сразу в виде таб­лицы 8.13, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от таблицы 8.12, до 150.

В таблице 8.13 произведены предварительные расчеты, необходимые для вычисления эмпирического значения критерия xu -квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по формуле (8.9):

Где частоты первого распределения, а — частоты второго. N — сумма числа элементов в первой n₁ и второй п₂ выборках. В на­шем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца таблицы 8.13. Осталось произвести расчет по формуле (8.9.)

В данном случае число степеней свободы v = (k – 1) ·(с – 1) = (10 – 1) · (2 – 1) = 9, где k - число интервалов разбиения, а с - число столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученная величина эмпирического значения хи -квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отличаются между собой.