Диференційне рівняння теплопровідності

Рівнянням (9), тобто законом Фур’є в прямій формі не можливо скористатись не знаючи закону розподілу температури в середовищі, а відповідно величини градієнту температури . Відповідь на це питання дає диференційне рівняння теплопровідності, яке виводиться з рівняння теплового балансу і рівняння Фур’є, що розглядаються в межах елементарного об’єму .

В кінцевій формі (вивід є в рекомендованій літературі) рівняння приймає вигляд

(11)
де - коефіцієнт температуропроводності, , , вже відомі нам коефіцієнт теплопровідності, теплоємність і густина речовини.

Величини характеризує тепло інерційні властивості тіла. Із збільшенням зміна температури () в часі також зростає.

Вираз називають оператор Лапласа.

Для випадку, коли температура змінюється тільки в одному напрямку (називається одномірною задачею), рівняння(11) спрощується

(12)

Рівняння (11) ще більше спрощується для стаціонарного процесу, коли . Оскільки фізична константа , то рівняння (11) остаточно приймає вигляд

(13)

Це рівняння слід розв’язувати при заданих граничних умовах.

Розглянемо конкретну задачу – теплопровідність плоскої стінки.

Граничними умовами є

x=0 t=t_ст.1(14)

x= t=t_ст.2(15)

Після інтегрування (13) враховуючи, що в даному випадку часткова похідна співпадає з повною отримаємо

(16) (17)

Підставляючи граничні умови (14) та (15) в рівняння (16) і (17) отримаємо рівняння, яке визначає градієнт температури

(18)

і рівняння, яке називається рівнянням теплопровідності плоскої стінки (19)

(19)

або

(20)

Рівняння (19) і (20) дозволяють визначити кількість тепла Q і тепловий потік q для випадку теплопровідності плоскої стінки в стаціонарних умовах.

Якщо рівняння (20) представити у вигляді

і порівняти його із законом Ома, що визначає силу струму

, де - різниця потенціалів (або рушійна сила), R – опір провідника, то видно їх тотожність. За аналогією знаменник називають термічним опором стінки (). Якщо стінка складається з декількох шарів, наприклад, стальний апарат емальований зсередини, а зовні покритий тепловою ізоляцією, то опори сумуються (як при послідовному з’єднанні провідників)

(21)

В цьому випадку рівняння теплопровідності плоскої стінки (21) буде мати вигляд

(22)

Якщо стінка має циліндричну форму (трубопроводи, покриті тепловою ізоляцією) при співвідношенні , розподіл температури по товщині стінки буде підпорядковуватись вже не лінійному, а логарифмічному закону (в зв’язку з тим, що тепловий потік – постійна величина, а поверхня - змінюється із зміною ), рівняння теплопровідності циліндричної стінки отримає вигляд

(23)

Для багатошарової стінки:

(24)

де - коефіцієнт теплопровідності -го шару, - співвідношення цього шару.