Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.
Событие – результат испытания (исход испытания).
Достоверным называют событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.
Невозможным называют событие, которое заведомо не может произойти.
Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Событие 
, состоящее в ненаступлении события 
в данном испытании, называется событием, противоположным событию .
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.
Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.
События называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление других.
События называются совместными, если в данных условиях появление одного из данных событий не исключает появление других в данном испытании.
События называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.
Классическое определение вероятностей. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов: 
.
Свойства вероятностей:
1. 
.
2. Вероятность достоверного события равна 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0. 
Теоремы вероятностей:
1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: 
.
3. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: 
Факториал. Произведение 
называется n факториалом.
Составим таблицу факториалов.
2. Число благоприятствующих и всевозможных исходов. Число благоприятствующих и всевозможных исходов удобнее найти с помощью формул комбинаторики. Для этого необходимо правильно определить характеристики: повторение элементов, порядок расположения элементов, изменение состава элементов в выборке.
| Размещения | Перестановки | Сочетания | ||
| характеристики выборок | ||||
| состав элементов изменить можно, порядок расположения элементов важен | состав элементов изменить нельзя, порядок расположения элементов важен | состав элементов изменить можно, порядок расположения элементов не важен | ||
без повторений:
| без повторений:
| без повторений:
| ||
с повторениями:
| с повторениями:
| с повторениями:
|
1. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Решение.
Испытание – вынимают карточки с буквами в случайном порядке без возврата.
Событие А – получилось слово МАТЕМАТИКА.
Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно составить слова из букв М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А;
Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно составить слово МАТЕМАТИКА.
Число всевозможных исходов есть перестановки с повторениями:
.
Число благоприятствующих исходов равно 1, так как единственный благоприятный исход – когда получилось нужное слово: 
Таким образом, 
.
Вывод. С вероятностью 
можно утверждать, что получится слово МАТЕМАТИКА.
2. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что получится слово «ТЕМА».
Решение.
Испытание – вынимают 4 карточки из 10.
Событие А – получилось слово ТЕМА.
n: Сколькими способами можно составить четырёхбуквенные слова из букв М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А;
m: Сколькими способами можно выбрать букву «т», букву «е», букву «м» и букву «а».
Число всевозможных исходов есть размещение без повторений: 
Число благоприятствующих исходов: 
(2 способа выбрать букву «т», 1 - букву «е», 2 - букву «м» и 3- букву «а»).
Таким образом, 
.
Вывод. С вероятностью 
можно утверждать, что получится слово ТЕМА.
3. В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара;
б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Решение.
а) Испытание – вынимают 4 шара из 11.
Событие 
– среди вынутых шаров 2 белых.
Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.
Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 2 белых и 2 чёрных шара.
Здесь порядок расположения шаров не важен, поэтому количество способов будем искать по формуле сочетания:
Таким образом, 
.
Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется 2 белых шара, равна 
.
б) Испытание – вынимают 4 шара из 11.
Событие 
– среди вынутых шаров меньше чем 2 белых шара. Это событие состоит из двух несовместных событий:
– среди вынутых шаров только 1 белый и 3 чёрных шара,
– среди вынутых шаров нет ни одного белого и все 4 шара черные.
Так как события и несовместны, то 
.
Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.
Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 1 белый и 3 чёрных шара или 0 белых и 4 чёрных шара.
Используя формулы комбинаторики, получим:
Таким образом, 
.
Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется меньше чем 2 белых шара, равна 
.
в) Испытание – вынимают 4 шара из 11.
Событие 
– среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 чёрных (
), 2 белых и 2 чёрных (
), 3 белых и 1 чёрный (
), 4 белых (
).
Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле 
вычислить вероятность искомого события.
Рассмотрим противоположное событие 
– среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.
Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.
Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 4 чёрных шара.
Используя формулы комбинаторики, получим:
Таким образом, 
, 
.
Вывод. Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого, равна 
.
