Тема 5. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бернулли

Уравнение вида

, (5.1)

где и - заданные функции от х, в частности – постоянные.

Уравнение вида , где , , , (5.2)

называется уравнением Бернулли.

На практике ДУ удобнее искать методом Бернулли в виде .

Метод Бернулли. ДУ (5.2) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки , где u и v неизвестные функции от х. Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (5.2), получаем

(5.3)

или . (5.4)

Далее приравниваем выражение в скобках к нулю и решаем ДУ . Итак, получили ДУ - уравнение с разделяющимися переменными. Решив последнее уравнение, получим .

Подставляя найденную функцию в уравнение (5.3), получаем

.

Определив u, возвращаемся к переменной .

Найдите общее решение линейного ДУ первого порядка: .

Решение. Сделав замены и , получим .

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию :

Подставив в уравнение (7.2), находим :

Найдём интеграл методом замены:

.

Получим, что .

Итак, общее решение данного уравнения есть .

2. Найдите общее решение уравнения Бернулли: .

Решение. Сделав замены и , получим .

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию :

Подставив в уравнение (8.4), находим :

Отсюда .

Тема 6.Решение однородных дифференциальных уравнений

Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т.е. .

Дифференциальное уравнение (9) называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

С помощью замены , где u – новая неизвестная функция, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

1. Найдите общее решение ДУ

Решение. Сравнивая уравнение с общим видом ДУ , имеем . Так как , то является однородным уравнением. Сделав замену и , получим

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделав обратную замену , получим общее решение

Тема 7. Нахождение частных производных и полного дифференциала функций

Частной производной от функции по переменной х называется производная этой функции при постоянном значении переменной у и обозначается или .

Частной производной от функции по переменной у называется производная этой функции при постоянном значении переменной х и обозначается или .

Полным дифференциалом функции в некоторой точке называется выражение

, (7.1)

где и вычисляются в точке , а , .

 

1. Найдите частные производные функций:

а) ; б) .

Решение.

а) При вычислении переменная у считается как постоянная величина:

.

При вычислении переменная х считается как постоянная величина:

.

 

б) При вычислении переменная у считается как постоянная величина и имеем произведение двух функций, зависящих от х, поэтому применяем правило вычисления производных: :

При вычислении переменная х считается как постоянная величина:

.

 

2. Найдите полный дифференциал функции в точке М (1; 2).

Решение. Находим частные производные:

;

.

Вычислим значения частных производных в точке М (1; 2):

;

.

Согласно формуле (7.1.), получим .