В математической статистике вводятся числовые характеристики выборки аналогично числовым характеристикам случайных величин в теории вероятности.
Рассмотрим выборочные характеристики для выборки объёмом n: x 1, x 2,...., xn.
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Для дискретной случайной величины, математическим ожиданием М (Х) называется сумма произведений значений случайной величины на вероятность этих значений.
Выборочным математическим ожиданием (выборочным средним) называют среднее арифметическое выборки. Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:
1) 
= 
оценка математического ожидания служит выборочная средняя. (n-объем; х-значения выборочных данных)
2) = 
данные представлены в виде вариационного ряда
3) = 
найдена частота -р
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего. Дисперсия вычисляется по формулам:
1) D = 
2) D = 
Найдем математическое ожидание и дисперсию для примера 12, для этого вычислим средние значения интервала:
| xi | 116,5 | 119,5 | 122,5 | 125,5 | 128,5 |
| pi | 0,125 | 0,333 | 0,25 | 0,167 | 0,125 |
= 
= 14,5625 + 39,7935 + 30,625+ 20,9585+16,0625»122
D = = (116,5 – 122)2 · 0,125 + (119,5 – 122)2 · 0,333 +
+ (122,5 – 122)2 · 0,25 + (125,5 – 122)2 · 0,167 + (128,5 – 122)2 · 0,125» 13,25
Пример
Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.
Определить объем и размах выборки. Вычислить математическое ожидание, построить полигон частот.
Р е ш е н и е:
Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других видах свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке.
Вариационным рядом выборки х 1, х 2, …, хn называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т. е. записываются в виде последовательности х (1), х (2), …, х (n), где х (1) £ х (2) £ … х (n). Разность между максимальным и минимальным элементами выборки х (n) – х (1) = w называется размахом выборки.
Пусть выборка (х 1, х 2,…, хn) содержит k различных чисел х 1, х 2, …, хк , причем хi встречается ni раз (i = 1, 2, …, k). Число ni называется частотой элемента выборки хi.
Очевидно, что 
.
Статистическим рядом называется последовательность пар i=1 (х i, ni). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы хi, а вторая - их частоты, третья строка – относительные частоты.
Для данной задачи объем выборки n = 15,
размах выборки w = 10 – 2 = 8.
Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд:
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.
Различными в данной выборке являются элементы х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = 4, х 4 =5, х 5 = 7, х 6 = 10;их частоты соответственно равны n 1 = 3, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 3, n 5 = 4, n 6 = 2. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:
| хi | ||||||
| ni | ||||||
| рi | 0,2 | 0,07 | 0,13 | 0,2 | 0,26 | 0,13 |
Для контроля правильности находим S ni = 15, S рi = 1.
Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:
; 
; 
= 
(2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7 + 10 + 10)» 5,3;
= (2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 3 + 7 · 4 + 10 · 2)» 5,3;
= (2 · 0,2 + 3 · 0,07 + 4 · 0,13 + 5 · 0,2 + 7 · 0,26 + 10 · 0,13)» 5,3.
Полигон частот строится следующим образом:
По горизонтали откладываем значения элементов выборки, а по вертикали – соответствующие частоты, соединяем полученные точки ломаной линией. Для данной задачи получим:
