Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины

В математической статистике вводятся числовые характеристики выборки аналогично числовым характеристикам случайных величин в теории вероятности.

Рассмотрим выборочные характеристики для выборки объёмом n: x ₁, x ₂,...., x_n.

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Для дискретной случайной величины, математическим ожиданием М (Х) называется сумма произведений значений случайной величины на вероятность этих значений.

Выборочным математическим ожиданием (выборочным средним) называют среднее арифметическое выборки. Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:

1) = оценка математического ожидания служит выборочная средняя. (n-объем; х-значения выборочных данных)

2) = данные представлены в виде вариационного ряда

 

3) = найдена частота -р

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего. Дисперсия вычисляется по формулам:

1) D =

2) D =

Найдем математическое ожидание и дисперсию для примера 12, для этого вычислим средние значения интервала:

xi	116,5	119,5	122,5	125,5	128,5
pi	0,125	0,333	0,25	0,167	0,125

= = 14,5625 + 39,7935 + 30,625+ 20,9585+16,0625»122

D = = (116,5 – 122)² · 0,125 + (119,5 – 122)² · 0,333 +

+ (122,5 – 122)² · 0,25 + (125,5 – 122)² · 0,167 + (128,5 – 122)² · 0,125» 13,25

 

Пример

Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

Определить объем и размах выборки. Вычислить математическое ожидание, построить полигон частот.

Р е ш е н и е:

Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других видах свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке.

Вариационным рядом выборки х ₁, х ₂, …, х_n называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т. е. записываются в виде последовательности х ⁽¹⁾, х ⁽²⁾, …, х ⁽ⁿ⁾, где х ⁽¹⁾ £ х ⁽²⁾ £ … х ⁽ⁿ⁾. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки х ⁽ⁿ⁾ – х ⁽¹⁾ = w называется размахом выборки.

Пусть выборка (х ₁, х ₂,…, х_n) содержит k различных чисел х ₁, х ₂, …, х_{к ,} причем х_i встречается n_i раз (i = 1, 2, …, k). Число n_i называется частотой элемента выборки х_i.

Очевидно, что .

Статистическим рядом называется последовательность пар i=1 (х _i, n_i). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы х_i, а вторая - их частоты, третья строка – относительные частоты.

Для данной задачи объем выборки n = 15,

размах выборки w = 10 – 2 = 8.

Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд:

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

Различными в данной выборке являются элементы х ₁ = 2, х ₂ = 3, х ₃ = 4, х ₄ =5, х ₅ = 7, х ₆ = 10;их частоты соответственно равны n ₁ = 3, n ₂ = 1, n ₃ = 2, n ₄ = 3, n ₅ = 4, n ₆ = 2. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

хi
ni
рi	0,2	0,07	0,13	0,2	0,26	0,13

Для контроля правильности находим S n_i = 15, S р_i = 1.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:

; ;

= (2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7 + 10 + 10)» 5,3;

= (2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 3 + 7 · 4 + 10 · 2)» 5,3;

= (2 · 0,2 + 3 · 0,07 + 4 · 0,13 + 5 · 0,2 + 7 · 0,26 + 10 · 0,13)» 5,3.

Полигон частот строится следующим образом:

По горизонтали откладываем значения элементов выборки, а по вертикали – соответствующие частоты, соединяем полученные точки ломаной линией. Для данной задачи получим: