Тема №1. Предел и непрерывность функции.

Матрицу называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В другими словами, если . Матрица, транспонированная матрице обозначается символом

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле , где – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и – го столбца. Определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула

,

Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число называется дополнительным минором элемента матрицы . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы называется дополнительным минором.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию где - единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной по отношению к матрице А и обозначается

Базисным минором матрицы порядка называется минор порядка , если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. число совпадает с меньшим из чисел или .

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Системой m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется система

Решением системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Если правая часть системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных равна нулю, то система называется однородной.

Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел и : , где (число называется мнимой единицей).

Комплексные числа называются сопряженными друг другу.

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами. Для любых элементов , , из множества выполняются законы

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента , (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент , такой, что (существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов , из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент .

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и любого выполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя .

Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Если выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

Пусть – заданное n - мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство: . При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения: .

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .

Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï=ï ï.

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора . Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е. = , = .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними. Обозначение: или , т.е. где Если или , то, по определению,

Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к вектору на наименьший угол виден с конца вектора осуществляющимся против (по) часовой стрелки. Говорят также, что тройка базисных векторов имеет правую (левую) ориентацию.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор , перпендикулярный плоскости векторов и , имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и и направленный так, что тройка векторов так же ориентирована, как и тройка базисных векторов . Обозначение: . Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю.

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначение: , т.е. Из этого определения следует, что три вектора компланарны (параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Это уравнение называют общим уравнением прямой.

Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условию называется направляющим вектором прямой .

Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Откуда . Числа называются угловыми коэффициентами прямой.

Пусть - произвольное множество действительных чисел: . Говорят, что задана функция с областью определения D, если каждому числу из множества D поставлено в соответствие единственное действительное число . Обозначение: . Читается: « есть от . Число называется аргументом, число - значением функции при данном значении аргумента. Множество всех значений функции называется областью значений этой функции.

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, где «пробегает» всю область определения .

Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что верно неравенство .

Если при только при , то - называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , таких что выполняется неравенство . При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности. Обозначение:

Функция называется ограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число , что для всех точек из этой окрестности.

Предел функции при , где - число, равен бесконечности, если для любого числа существует такое число , что неравенство выполняется для всех , удовлетворяющих условию . Обозначение: . Если в приведенном определении заменить условие на , то получим а если заменить на , то

Функция называется бесконечно большой при , где – число или одна из величин ¥, +¥, -¥, если , где А –число или одна из величин ¥, +¥, -¥.

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка малости.

Если то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Обозначение: .

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел существует, конечен и отличен от нуля.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны . Тот же факт можно записать иначе: .

Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в самой точке , то она называется разрывной функцией в этой, а сама точка называется точкой разрыва этой функции.

Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке является величиной бесконечно малой в этой точке где – функция бесконечно малая при . Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что она непрерывна на множестве .

Точка называется точкой устранимого разрывафункции , если в этой точке функция имеет конечные, равные друг другу левый и правый пределы, не равные значению функции в точке : . При этом в самой точке функция может быть и не определена. Если доопрпеделить значение функции в точке положив его равным , то функция будет непрерывной в точке

Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы

.

Точка называется точкой разрыва 2 – го рода функции , если один из односторонних пределов функции в этой точке либо не существует либо равен бесконечности.

Функция называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в каждой точке интервала (отрезка).

Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что выполняется неравенство .

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие по некоторому закону определённое число , то говорят, что на множестве всех натуральных чисел задана последовательность Общий член последовательности является функцией от . Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число